Question

若正数ab满足a^2+b^2+3ab/2-a-b=0,则a+b的取值范围是？

Answer 1

方法一：
∵a、b都是正数，∴a＋b≧2√（ab），∴（a＋b）^2≧4ab，∴ab/2≦（a＋b）^2/8。
由a^2＋b^2＋3ab/2－a－b＝0，得：（a＋b）^2－2ab＋3ab/2－（a＋b）＝0，
∴（a＋b）^2－（a＋b）＝ab/2≦（a＋b）^2/8，　∴7（a＋b）^2/8－（a＋b）≦0，
∴（a＋b）［（a＋b）－8/7］≦0。
∵a、b都是正数，　∴a＋b＞0、且a＋b≦8/7。
∴a＋b的取值范围是（0，8/7］。

方法二：
设a＋b＝k，则：b＝k－a。
又a^2＋b^2＋3ab/2－a－b＝0，　∴（a＋b）^2－（a＋b）＝ab/2，
∴k^2－k＝a（k－a）/2，　∴2k^2－2k＝ka－a^2，　∴a^2－ka＋2k^2－2k＝0。
∴满足条件的a值有两个，设为a1、a2，且都是正数。
∴a1×a2＞0、且（－k）^2－4（2k^2－2k）≧0。
由韦达定理，有：a1×a2＝k，　∴k＞0。　∴由（－k）^2－4（2k^2－2k）≧0，得：
k－8k＋8≧0，　∴k≦8/7。
即：0＜a＋b≦8/7。　∴a＋b的取值范围是（0，8/7］。

Answer 2

方法一：
∵a、b都是正数，∴a＋b≧2√（ab），∴（a＋b）^2≧4ab，∴ab/2≦（a＋b）^2/8。
由a^2＋b^2＋3ab/2－a－b＝0，得：（a＋b）^2－2ab＋3ab/2－（a＋b）＝0，
∴（a＋b）^2－（a＋b）＝ab/2≦（a＋b）^2/8，　∴7（a＋b）^2/8－（a＋b）≦0，
∴（a＋b）［（a＋b）－8/7］≦0。
∵a、b都是正数，　∴a＋b＞0、且a＋b≦8/7。
∴a＋b的取值范围是（0，8/7］。

方法二：
设a＋b＝k，则：b＝k－a。
又a^2＋b^2＋3ab/2－a－b＝0，　∴（a＋b）^2－（a＋b）＝ab/2，
∴k^2－k＝a（k－a）/2，　∴2k^2－2k＝ka－a^2，　∴a^2－ka＋2k^2－2k＝0。
∴满足条件的a值有两个，设为a1、a2，且都是正数。
∴a1×a2＞0、且（－k）^2－4（2k^2－2k）≧0。
由韦达定理，有：a1×a2＝k，　∴k＞0。　∴由（－k）^2－4（2k^2－2k）≧0，得：
k－8k＋8≧0，　∴k≦8/7。
即：0＜a＋b≦8/7。　∴a＋b的取值范围是（0，8/7］。