Question

a>0,+b>0,+c>0,a+b+c=3,证明128(ab+bc+ca)²÷((+a+b)(b+c)(c+a))+81÷(abc

Answer 1

问：a>0,+b>0,+c>0,a+b+c=3,证明128(ab+bc+ca)²÷((+a+b)(b+c)(c+a))+81÷(abc

答：根据给定条件a>0, b>0, c>0, a+b+c=3，我们先证明一个引理：Lemma：对于任意的非负实数x，y，z，有(x+y)(y+z)(z+x)≥8xyz。Proof：根据均值不等式，我们有(x+y)(y+z)(z+x)≥8(xyz)^(2/3)。又因为xyz≥(xyz)^(2/3)，根据乘法不等式，得到(x+y)(y+z)(z+x)≥8xyz。现在我们来证明题目中的不等式：128(ab+bc+ca)²÷((a+b)(b+c)(c+a)) + 81÷abc= 128(ab+bc+ca)²÷(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc) + 81÷abc= 128(ab+bc+ca)²÷(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc) + 27÷(a+b+c)³= 128(ab+bc+ca)²÷((a+b)(b+c)(c+a)) + 27÷(a+b+c)³= 128(ab+bc+ca)²÷((a+b)(b+c)(c+a)) + 27÷(abc(a+b+c)³)根据引理，我们有8(ab+bc+ca)²≥64abc(a+b+c)，即 (ab+bc+ca)²≥8abc(a+b+c)。所以，128(ab+bc+ca)²≥1024abc(a+b+c)，即128(ab+bc+ca)²÷((a+b)(b+c)(c+a))≥1024abc。所以，128(ab+bc+ca)²÷((a+b)(b+c)(c+a)) + 27÷(abc(a+b+c)³)≥ 1024abc + 27÷(abc(a+b+c)³)= abc + abc + ... + abc + abc + abc + abc + abc + abc≥ 9∛(abcabcabcabcabcabcabc)= 9∛(abc)³= 9abc所以，128(ab+bc+ca)²÷((a+b)(b+c)(c+a)) + 27÷(abc(a+b+c)³) ≥ 9abc即证明了题目中的不等式。