Question

已知二次函数y=-x2+（k+1）x-k的图象经过一次函数y=-x+4的图象与x轴的交点A．（如图）

1）求二次函数的解析式；
（2）求一次函数与二次函数图象的另一个交点B的坐标；
（3）若二次函数图象与y轴交于点D，平行于y轴的直线l将四边形ABCD的面积分成1：2的两部分，则直线l截四边形ABCD所得的线段的长是多少？（直接写出结果）

在线求第三道详解

Answer 1

⑴.令y=0，代入一次函数得 x=4，则A点坐标为（4,0）将A点坐标代入二次函数求得，k=4，则二次函数为
y=-x方+5x-4
⑵.将2函数联立方程组，求得B点坐标（2,2）
⑶.令y=0代入二次函数得x=1或x=4，则C点坐标为（1,0）
令x=0代入2此函数得y=-4，则D点坐标为（0.-4)
四边形面积为（4-1）X2/2+（4-1）X4/2=9
令平行于y轴的直线交BC于E交CA于F交AD于G
求直线BC的函数，已知点B点C坐标，求得BC的函数为y=2x-2
则EF/FC=2/1 同理求得AD的函数为y=x-4 AF/FG=1/1
设CF=a则EF=2a AF=3-a FG=3-a
直线EG左边的面积/四边形总面积=S三角形EFC+S三角形ACD-S三角形AFG/S四边形ABCD=1/3
aX2a/2+3X4/2-（3-a）X（3-a）/2=a方/2+3a-3/2
（a方/2+3a-3/2）/9=1/3 得a=2√3-3小于1 则EG=2a+3-a=2√3
当直线交AB于点H 交AC于I 交AD于J
设AI=b则BI=b IJ=b
S三角形AHJ/S四边形ABCD=1/3 bX2b/2/9=1/3 则b=√3 HJ=2b=2√3
则线段长为2√3

Answer 2

(1)二次函数为:y=-x²+5x-4;
(2)B(2,2).
(3)y=0时,0=-x²+5x-4,x=1或4,故C为(1,0).
x=0,y=4,即D为(0,-4).
设直线ABy=-x+4与Y轴交于M,则M为(0,4).
即OM=OA=OD,⊿AOM,⊿AOD,⊿MAD均为等腰直角三角形.
S四边形ABCD=S⊿ACB+S⊿ACD=9.
【1】当直线L与线段AB,AD分别交于P,Q时:
PQ平行Y轴,则P与Q关于X轴对称,设PQ=2m,则⊿APQ中PQ上的高=PQ/2=m.
若S⊿APN:S四边形BDQP=1:2,则S⊿APQ=S四边形ABCD/3.
即2m*m/2=3,m= √3(取正值),即PQ=2m=2√3;
【2】由C(1,0),B(2,2)两点坐标可求得直线BC为:y=2x-2.
当直线L与线段BC,AD分别交于K,L时:
设KL交X轴于H(n,0),则HK=2n-2;HL=HA=OA-OH=4-n;CH=OH-OC=n-1.
S四边形KCDL=S⊿KCH+(S梯形HLDO-S⊿OCD)
同理可知:当S四边形KCDL=S四边形ABCD/3=9/3=3.
即:(n-1)(2n-2)/2+(4-n+4)*n/2-1*4/2=3.
n²+4n-8=0,n= √13-2.
故:HK=2n-2=2 √13-6, HL=4-n=6- √13,即KL=HK+HL= √13.
综上所述,直线L把四边形ABCD面积分为1:2时,它被四边形ABCD所截部分的线段长度为
2√3或者√13.

Answer 3

　　：（1）由y=-x+4，得A（4，0），
　　又二次函数图象经过点A，
　　则0=-16+4（k+1）-k，
　　解得k=4，
　　所以二次函数解析式为y=-x2+5x-4．

　　（2）由
　　y=-x+4y=-x2+5x-4
　　，
　　解得
　　x1=4y1=0
　　x2=2y2=2
　　，
　　所以点B的坐标为（2，2）．

　　（3）令y=0代入二次函数得x=1或x=4，
　　则C点坐标为（1，0）
　　令x=0代入2此函数得y=-4，则D点坐标为（0，-4）
　　∴四边形面积为：
　　12×（4-1）×2+12×（4-1）×4=9，
　　①若直线在点B的左侧，
　　令平行于y轴的直线交BC于E，交CA于F，交AD于G，
　　求得BC的函数为y=2x-2
　　则
　　EF/FC=2/1
　　，
　　同理求得AD的函数为y=x-4，
　　∴AF=FG，
　　设CF=a＞0，
　　则EF=2a，AF=3-a，FG=3-a，
　　∴S△EFC+S四边形FCDG=S△EFC+S梯形OFGD-S△OCD=1/2a•2a+1/2（3-a+4）•（a+1）-1/2×1×4=3，
　　解得：a=2√3-3；
　　EG=2a+3-a=2√3

　　②若直线在点B的右侧，
　　令平行于y轴的直线交AB于E，交CA于F，交AD于G，
　　求得AB的函数为y=-x+4，
　　则EF=FA，
　　同理求得AD的函数为y=x-4，
　　∴AF=FG，
　　设AF=a＞0，
　　则EF=a，AF=a，FG=a，
　　∴S△EFC+S△AFG=1/2a•a+1/2a•a=3，
　　解得：a=√3
　　∴EG=EF+FG=2a=2√3

　　故线段长为2√3

Answer 4

解：（1）由y=-x+4，得A（4，0），
又二次函数图象经过点A，
则0=-16+4（k+1）-k，
解得k=4，
所以二次函数解析式为y=-x2+5x-4．
（2）由 {y=-x+4y=-x2+5x-4，
解得 {x1=4y1=0， {x2=2y2=2，
所以点B的坐标为（2，2）．
（3）3或 422．

Answer 5

1)y=-x^2+5x-4
2)另一个交点是(2,2)
3）x=2（√3-1）

追问

第三道有两个答案可不可以具体讲一下