Question

已知三角形ABC中，AC=4，BC=5，AB=6 （1）点D为AC上任意一点，点E在边AB上，且三角形ADE与三角形ABC相似

若AD为m，试用m的代数式表示AE的长；
点M,N分别在边AB，BC上，且三角形BMN与三角形ABC相似，若AM=x，试求当符合题意的三角形BMN唯一时，x的取值范围

要解题过程！！！还有“唯一"是什么意思
事后加悬赏

Answer 1

第一个问题：
一、当DE∥AB时，显然有△ADE∽△ACB。
　　此时：AD/AC＝AE/AB，　∴m/4＝AE/6，　∴AE＝3m/2。

二、当AD/AB＝AE/AC时，有△ADE∽△ABC。
　　此时：m/6＝AE/4，∴AE＝2m/3。

综上所述，得：满足条件的AE的长为 3m/2 或 2m/3。

第二个问题：
很明显，对于点M在AB的任意位置上，都能作出：MN∥AC，此时△BMN∽△ABC。
对于已经确定的点M，要使△AMN∽△ABC的点N唯一，就必须不能满足：BM/BC＝BN/AB。
即：（AB－AM）/BC＝BN/AB 不能成立。

现在讨论（AB－AM）/BC＝BN/AB 成立的x取值范围。
由（AB－AM）/BC＝BN/AB，得：（6－x）/5＝BN/6，∴BN＝6（6－x）/5。
显然，0＜BN＜BC＝5，∴0＜6（6－x）/5≦5，∴0＜6－x≦5/6，∴－5/6≦x－6＜0，
∴6－5/6≦x＜6，∴31/6≦x＜6。

∴当x∈（0，31/6）时，满足条件的△BMN是唯一的。

注：这里的“唯一”是指当点M的位置确定后，只能存在一个点N，使△BMN∽△ABC。