Question

如图1，点P，Q分别是边长为4CM的等边三角形ABC边AB，BC的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，切他们的

速度都为1一秒每厘米，（1）连接AQ，CP交与M，则在P，Q运动过程中，∠CMQ有变化吗》？若有变化，说明理由，不变，则求出他的度数，（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图二，若点P，Q在运动终点后继续再射线AB，BC上运动，直线AQ，CP交点为M，则∠CMQ变化吗？请说明理由

Answer 1

解：（1）∠CMQ=60°不变．
∵等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
又由条件得AP=BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．
2）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4-t
①当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，得4-t=2t，t= 4/3；
②当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t= 8/3；
∴当第4/3秒或第8/3秒时，△PBQ为直角三角形．

（3）∠CMQ=120°不变．
∵在等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
∴∠PBC=∠ACQ=120°，
又由条件得BP=CQ，
∴△PBC≌△QCA（SAS）
∴∠BPC=∠MQC
又∵∠PCB=∠MCQ，
∴∠CMQ=∠PBC=180°-60°=120°

Answer 2

(1）∠CMQ=60°不变．
∵等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
又由条件得AP=BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．

（2）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4-t
①当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，得4-t=2t，t= 4/3；
②当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t= 8/3；
∴当第4/3秒或第8/3秒时，△PBQ为直角三角形．

（3）∠CMQ=120°不变．
∵在等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
∴∠PBC=∠ACQ=120°，
又由条件得BP=CQ，
∴△PBC≌△QCA（SAS）
∴∠BPC=∠MQC
又∵∠PCB=∠MCQ，
∴∠CMQ=∠PBC=180°-60°=120°

没图,所以不知道对不对

Answer 3

解：(1)角CMQ不变。
AP=BQ,AC=BC,∠A=∠C
∴△APC≌△BQA
设∠AQB=a°，则∠APC=∠AQB=a°
∴∠CPB=180-∠APC=180-a
∴∠PMQ=360-∠B-∠CPB-∠BQA
=360-60-a-(180-a)
=120
∴∠CMQ=180-∠PMQ=60°
(2)设运动了t秒
当△PBQ为Rt三角形时
∠B=60
①当∠BPQ=30时
∴PB=AB-BP=4-t=2BQ=2t
解得t=4/3
②当∠PQB=30时
则BQ=t=2PB=2(AB-AP)=2(4-t)
解得t=8/3
(3)∠CMQ不变
∠CPB+∠BCP=180-∠PBC=120
∵BP=CQ,∠PBQ=∠ACQ,BC=AC
∴△BPC≌三角形ACQ
∴∠AQC=∠BPC
∴∠MCQ=∠BCP
∴∠CMQ=180-∠MQC-∠MCQ
=180-∠BCP-∠BPC=120

Answer 4

解：(1)角CMQ不变。
AP=BQ,AC=BC,∠A=∠C
∴△APC≌△BQA
设∠AQB=a°，则∠APC=∠AQB=a°
∴∠CPB=180-∠APC=180-a
∴∠PMQ=360-∠B-∠CPB-∠BQA
=360-60-a-(180-a)
=120
∴∠CMQ=180-∠PMQ=60°
(2)设运动了t秒
当△PBQ为Rt三角形时
∠B=60
①当∠BPQ=30时
∴PB=AB-BP=4-t=2BQ=2t
解得t=4/3
②当∠PQB=30时
则BQ=t=2PB=2(AB-AP)=2(4-t)
解得t=8/3
(3)∠CMQ不变
∠CPB+∠BCP=180-∠PBC=120
∵BP=CQ,∠PBQ=∠ACQ,BC=AC
∴△BPC≌三角形ACQ
∴∠AQC=∠BPC
∴∠MCQ=∠BCP
∴∠CMQ=180-∠MQC-∠MCQ
=180-∠BCP-∠BPC=120

Answer 5

解：(1)角CMQ不变。
AP=BQ,AC=BC,∠A=∠C
∴△APC≌△BQA
设∠AQB=a°，则∠APC=∠AQB=a°
∴∠CPB=180-∠APC=180-a
∴∠PMQ=360-∠B-∠CPB-∠BQA
=360-60-a-(180-a)
=120
∴∠CMQ=180-∠PMQ=60°
(2)设运动了t秒
当△PBQ为Rt三角形时
∠B=60
①当∠BPQ=30时
∴PB=AB-BP=4-t=2BQ=2t
解得t=4/3
②当∠PQB=30时
则BQ=t=2PB=2(AB-AP)=2(4-t)
解得t=8/3
(3)∠CMQ不变
∠CPB+∠BCP=180-∠PBC=120
∵BP=CQ,∠PBQ=∠ACQ,BC=AC
∴△BPC≌三角形ACQ
∴∠AQC=∠BPC
∴∠MCQ=∠BCP
∴∠CMQ=180-∠MQC-∠MCQ
=180-∠BCP-∠BPC=120