求这个题目的解法 10
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上海华然企业咨询
2024-10-28 广告
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x=22.5°是1解，此时∠BAC=90°。
如图，作△ABC的高AD，设AE=ED=我，则AD=√2，
AB=1/sin3x，BE=1/tan3x，AC=1/sinx，CD=BD=1+1/tan3x，
在△ACD中用余弦定理：
AC²=AD²+CD²-2AD.CDcos（ADC）
1/sin²x=2+（1+1/tan3x）²-2√2.（1+1/tan3x）.cos135°
1/sin²x=2+（1+1/tan3x）²+2√2.（1+1/tan3x）.√2/2
1/sin²x=2+（1+1/tan3x）²+2（1+1/tan3x）
1/sin²x-1=1+（1+1/tan3x）²+2（1+1/tan3x）
cos²x/sin²x=（2+tan3x）²
开方：
cosx/sinx=2+tan3x
2=cosx/sinx-cos3x/sin3x
=（sin3xcosx-cos3xsinx）/（sinxsin3x）
=sin2x/（sinxsin3x）
=2cosx/sin3x
cosx=sin3x，
x与3x互余，4x=90°，x=22.5°。
下面讨论，3x是直角或钝角的情形：
如果3x=90°，B、E重合，x=30°，AE=ED=CD，但是AC=2AE，∴AC=BC，斜边=直角边，矛盾。
3x>90°，x>30°，
0<BD<ED<1,0<1+1/tanx<1,tanx<0,-1<1/tan3x,-tan3x>1,tan3x<-1,3x<135°，x<45°。
此时，3x=90°+x，x=45°，矛盾。
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