Question

有加分！！急求，感谢！！在极坐标系中,圆C的极坐标方程为P=√2cos(θ+π/4),以极点为原点,极轴

在极坐标系中,圆C的极坐标方程为P=√2cos(θ+π/4),以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程x=1+4t/5,y=-1-3t/5,(t为参数)，求直线l被圆C所截得的弦长

Answer 1

极坐标圆C：
ρ=√2cos(θ+π/4)=√2(cosθcosπ/4-sinθsinπ/4)，
则ρ=cosθ-sinθ ①，
因为极坐标(ρ，θ)与直角坐标(x，y)的关系为：
x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
故①为ρ²=ρcosθ-ρsinθ，
即x²+y²=x-y，
所以直角坐标圆C：(x-1/2)²+(y+1/2)²=1/2；

直角坐标直线l：
x=1+4t/5，y=-1-3t/5，
整理得3x+4y=-1，
分别以x=(-1-4y)/3，y=(-1-3x)/4带入圆方程，
25y²+29y+4=0，
25x²-22x-3=0，
设直线l与圆C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1+x2=22/25，x1x2=-3/25，
y1+y2=-29/25，y1y2=4/25，
弦长|AB|²=(x1-x2)²+(y1-y2)²=(x1+x2)²-4x1x2+(y1+y2)²-4y1y2=35²/25²，
即|AB|=7/5。

追问

那如果不用算交点的方法，把直线的参数方程带入圆的方程里面去用t来做应该怎么做呢，谢谢

追答

嗯。
圆C为：(x-1/2)²+(y+1/2)²=1/2，
直线l为：x=1+4t/5，y=-1-3t/5，
带入圆方程并化简：5t²+7t=0，
则t=0，此时x=1，y=-1，
或t=-7/5，此时x=-3/25，y=-4/25，
即求出了直线l与圆C相交的两点的具体值，(1，-1)，(-3/25，-4/25)，
弦长即为两点之间的距离，求出来还是7/5。