Question

设函数f(x)对于任意x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,y<0,f(1)=-2

1利用函数单调性定义证明函数y=f(x)是减函数
2求函数y=f(x)在区间【-3，3】上的最大值和最小值

Answer 1

（1）令x1<x2，则x2-x1>0；
∵x>0时，f(x)<0
∴f(x2-x1)<0
x2=(x2-x1)+x1
又∵f(x)对于任意x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)；
∴f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)
即f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)
∵f(x2-x1)<0
∴f(x2)-f(x1)<0
即x1<x2时，f(x1)>f(x2)
所以，y=f(x)在R上是减函数；
（注：这基本上是抽象函数证明单调性的标准流程了，其它做法基本都会有细节方面的问题）
（2）由（1）y=f(x)在R上是减函数，
∴y=f(x)在区间【-3,3】上的最大值为f(-3)，最小值为f(3)；
∵f(x+y)=f(x)+f(y)
令y=0，得：f(x)=f(x)+f(0)，所以：f(0)=0
令y=-x，得：f(0)=f(x)+f(-x)=0
f(1)=-2，则f(2)=2f(1)=-4，
f(3)=f(1)+f(2)=-6；
∵f(x)+f(-x)=0
∴f(-3)=-f(3)=6；
∴y=f(x)在区间【-3,3】上的最大值和最小值分别为6和-6；

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 2

设x=0,y=0,则f(0)=2f(0),所以f(0)=0.【或设x=1,y=0,则f(1+0)即f(1)＝f(1)+f(0),f(0)=0,】
f(½＋½)=2f(½),∴f(1)＝－2＝2f(½),∴f(½)＝－1.
又f(1-½)即f(1)+f(-½)＝f(½),∴f(-½)＝-f(1)+f(½)＝2－1＝1,
设x1＜x2。则只需证明f(x1)－f(x2)＞0即可。
由题设，函数f(x)对于任意x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),即f(x+y)－f(x)＝f(y),______(*),
我们设x2-x1=p＞0,∴x1＋p＝x2,∴两边的函数值是相等的，即f(x1+p)=f(x1)+f(p)＝f(x2),
移项，由（*）得到f(x1)-f(x2)＝－f(p),∵已知x>0时,y<0，∴－f(p)＞0,即f(x1)-f(x2)＞0，证完。
由上面的结论可以得到f(-3)最大；f(3)最小。
f(-3)＝f(-½-½-½-½-½-½)＝6f(-½)＝6×1＝6,
f(3)＝f(½+½+½+½+½+½)＝6f(½)＝6×(-1)＝－6.

Answer 3

你好！

设a<b
f(b)-f(a)
=f[(b-a)+a] - f(a)
=f(b-a) +f(a) - f(a)
= f(b-a)
∵b-a>0
∴f(b-a)<0
则f(b)-f(a)<0
∴f(x)是减函数

2、令x=y=1
f(2)=f(1)+f(1)= -4
f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1) = -6

令y=0
f(x)= f(x) +f(0)
f(0)=0

令x=3,y=-3
f(0)=f(3-3)=f(3)+f(-3)=0
f(-3) = - f(3) = 6

因为是减函数
∴最大值f(-3)=6
最小值f(3) = -6

Answer 4

你的题目“设函数f(x)对于任意x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,y<0,f(1)=-2”中y<0中的
y=f(x)吧？？？

Answer 5

设x=y=0
f(0+0)=f(0)+f(0)
f(0)=0
令y=0
f(x+0)=f(x)+f(0)
f(x)=f(x)