如图,在三角形ABC中,∠BAC与∠ABC的角平分线相交与点E
如图,在△ABC中,∠BAC与∠ABC的角平分线AE,BE相交于点E,延长AE交△ABC的外接圆D点,连接BD,CD,CE,且∠BDA=60°。(1)求证:△BDE是等边...
如图,在△ABC中,∠BAC与∠ABC的角平分线AE,BE相交于点E,延长AE交△ABC的外接圆D点,连接BD,CD,CE,且∠BDA=60°。
(1)求证:△BDE是等边三角形;(2)若∠BDC=120°,猜想BDCE是何种特殊四边形,并证明你的猜想。 展开
(1)求证:△BDE是等边三角形;(2)若∠BDC=120°,猜想BDCE是何种特殊四边形,并证明你的猜想。 展开
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①证明:如图,在圆中∠ACB=∠BDA=60°,
∴∠ABC+∠BAC=120°,
又∵AE、BE是∠BAC与∠ABC的角平分线,
∴∠BED=∠ABE+∠BAE=0.5(∠ABC+∠BAC)=60°,
∴△BDE是等边三角形.
②四边形BDCE是菱形.
证明:∵∠BDC=120°,∠BDA=60°,
∴∠ABC=∠ADC=60°
∵BE是∠ABC的角平分线,△BDE是等边三角形,
∴BF平分∠EBD,且BC垂直平分DE,
∵∠BDF=∠CDF,∠BFD=∠CFD,DF=DF,
∴△BFD≌△CFD,
∴BF=CF,
∴DE垂直平分BC,
因此四边形BDCE是菱形.
∴∠ABC+∠BAC=120°,
又∵AE、BE是∠BAC与∠ABC的角平分线,
∴∠BED=∠ABE+∠BAE=0.5(∠ABC+∠BAC)=60°,
∴△BDE是等边三角形.
②四边形BDCE是菱形.
证明:∵∠BDC=120°,∠BDA=60°,
∴∠ABC=∠ADC=60°
∵BE是∠ABC的角平分线,△BDE是等边三角形,
∴BF平分∠EBD,且BC垂直平分DE,
∵∠BDF=∠CDF,∠BFD=∠CFD,DF=DF,
∴△BFD≌△CFD,
∴BF=CF,
∴DE垂直平分BC,
因此四边形BDCE是菱形.
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1)∠BAC与∠ABC的角平分线AE,BE相交于点E
所以E为圆心,所以EB=ED,△BDE为等腰三角形
又∠BDA=60°,所以△BDE是等边三角形
(2)∠BDC=120°,所以∠EDC=60
同(1)可知△EDC为等边三角形。
所以BDCE四边相等,为菱形
所以E为圆心,所以EB=ED,△BDE为等腰三角形
又∠BDA=60°,所以△BDE是等边三角形
(2)∠BDC=120°,所以∠EDC=60
同(1)可知△EDC为等边三角形。
所以BDCE四边相等,为菱形
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