Question

A矩阵，求证A的转置乘A的充分必要条件是A=0

少打了点字，真不好意思，请大师们解答一下~
A为mxn矩阵，求证A的转置乘A等于0的充分必要条件是A=0

Answer 1

设A=(aij),由A*A=0可知
ak1^2+ak2^2+...+akn^2=0（乘积的主对角元）.于是
或ak1=ak2=...=akn=0,k=1,2,...,m
所以A=0
(矩阵A必须是一个实矩阵。)

追问

是A^T*A=0

追答

设A=(aij),由A^T*A=0可知
ak1^2+ak2^2+...+akn^2=0（乘积的主对角元）.于是
ak1=ak2=...=akn=0,k=1,2,...,m
所以A=0
(矩阵A必须是一个实矩阵。主要关注一下乘积的主对角元。我第一次也是误将A^T写成A*了.)

追问

乘积的主对角元都是0，但是其他的元素不一定是0，A^T*A就不一定是0矩阵了呀

追答

一个矩阵等于0矩阵，当且仅当它的每一个元素都为0.
乘积为0，则乘积的每一个元素都是0. 于是所有主对角无都为0

乘积的第一个主对角元为0就能推出A的第一行的全部元素都为0，
乘积的第二个主对角元为0就能推出A的第二行的全部元素都为0.
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
乘积的第m个主对角元为0就能推出A的第m行的全部元素都为0.
于是A的全部元素都为0，所以A是一个0矩阵。
这是必要性的证明。充分性是显然的.

Answer 2

这题完整吗

追问

是A的转置乘以A等于0，不好意思，没注意啊~