Question

已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c,若函数f(x)在x=-1和x=3时取得极值，且其图像与x轴有且只有3个交点，求实数

c 的取值范围。

Answer 1

f'(x)=3x²-2ax+b
则-1和3是f'(x)=0的根
所以a=3,b=-9
且x=-1是极大值，x=3是极小值
又三个解则极大值大于0且极小值小于0
f(x)=x³-3x²-9x+c
所以
f(-1)=5+c>0
f(3)=-27+c<0
所以-5<c<27

Answer 2

由已知可得x=-1和x=3是方程f'（x）=3x2-2ax+b=0的两根，
∴ -1+3=2a3， -1×3=b3，
∴a=3，b=-9
∴f'（x）=3（x+1）（x-3），
∴f（x）在x=-1处取得极大值，在x=3处取得极小值．
∵函数y=f（x）的图象与x轴有且只有3个交点，∴ {f(-1)＞0f(3)＜0.
又f（x）=x3-3x2-9x+c，∴ {-1-3+9+c＞027-27-27+c＜0，
解得-5＜c＜27．