Question

求函数f(x)=2x^2-lnx的单调区间与极值

Answer 1

f(x)=2x^2-lnx
定义域为x＞0
f'(x)=4x-1/x
令f'(x)=0，4x-1/x=0
得x=1/2或-1/2
因为x＞0，所以极值取x=1/2
f"(x)=4+1/x^2,当x=1/2时f"(1/2)=8＞0，所以x=1/2为极小值点
f（x）在（0，1/2]区间单调减少，在[1/2,正无穷)区间单调增

Answer 2

定义域x>0
f'(x)=4x-1/x=(4x²-1)/x=(2x+1)(2x-1)/x
x>0则(2x+1)/x>0
所以
0<x<1/2,f'(x)<0，递减
x>0,f'(x)>0，递增
所以x=1/2是极小值

所以
增区间(1/2,+∞)
减区间(0,1/2)
极小值=f(1/2)=1/2+ln2

Answer 3

f'(x)=4x-1/x
f'(x)>0解得x>1/2
所以，(0，1/2]单调减，[1/2，+∞)单调增
极值f(1/2)=2*1/4-ln(1/2)=0.5+ln2≈1.19