Question

如图19-41-8，在梯形ABCD中，AB‖CD，∠A+∠B=90°,E.F分别是AB.CD的中点，求证：EF=½（AB-CD)

Answer 1

解答：
过F点分别作FG∥DA，FH∥CB，
分别交AB于G、H点，
则四边形DAGF、FHBC都是平行四边形，
∴DF=AG，FC=HB，∠FGH=∠A，∠FHG=∠B，
∴∠FGH＋∠FHG=90°，∴∠GFH=90°，
∴△FGH是直角△，
∵FD=FC，∴AG=BH，
∴E是斜边GH的中点，
∴EF=½GH=½﹙AB－CD﹚

Answer 2

证明：过D作DM‖BC交AB于M,取AM中点N，连DN，
得
平行四边形
CDMB,
所以CD=BM,∠B=∠DMA
所以AM=AB-BM=AB-CD,
又∠A+∠B=90°
所以∠A+∠DMA=90,
所以∠ADM=90°
因为N是AM中点，
所以AN=AM/2=(AB-CD)/2,
因为E是AB的中点，
所以AE=AB/2,
所以NE=AE-AN=AB/2-(AB-CD)/2=AB/2-AB/2+CD/2
因为F是CD的中点，
所以DF=CD/2,
所以NE=DF,
又AB‖CD，
所以四边形DFEN是平行四边形,
所以EF=DN,
因为在
直角三角形
ADM中，N是
斜边
AM中点，
所以DN=AM/2=(AB-CD)/2
所以EF=½（AB-CD)