Question

如图11所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，沿斜边AB的中线把这张纸张剪成△AC1D1和△BC2D2

如图11所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，沿斜边AB的中线把这张纸张剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图12所示），将纸张△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A，D1，D2，B始终在同一条直线上），当点D1与点B重合时，停止平移，在平移过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P。

（1）当△AC1D1平移到如图13所示时，猜想图中D1E与D2F数量关系，并证明猜想：

Answer 1

1）由题意可得C1D1=C2D2=BD2=AD1，根据两直线平行，同位角相等，及等腰三角形的性质，可得到AD2=D2F；同理：BD1=D1E，即可得出D1E=D2F．
（2）由题意，D2D1=x，则D1E=BD1=D2F=AD2=5-x，在△BC2D2中，C2到BD2的距离就是△ABC的AB边上的高，根据△ABC的面积可得高为 245，设△BED1的BD1边上的高为h，可证△BC2D2∽△BED1，所以 h245=5-x5；分别表示出△BED1和
△FC2P的面积，根据重叠部分面积为y=S△BC2D2-S△BED1-S△FC2P，可求出y与x的函数关系式，求出最小值即可；解答：解：（1）D1E=D2F．
∵C1D1∥C2D2，
∴∠C1=∠AFD2，
又∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，
∴DC=DA=DB，即C1D1=C2D2=BD2=AD1，
∴∠C1=∠A，
∴∠AFD2=∠A，
∴AD2=D2F；同理：BD1=D1E，
又∵AD1=BD2，
∴AD2=BD1，
∴D1E=D2F；
（2）由题意得AB=10，AD1=BD2=C1D1=C2D2=5，
又∵D2D1=x，
∴D1E=BD1=D2F=AD2=5-x，
∴C2F=C1E=x，
在△BC2D2中，C2到BD2的距离就是△ABC的AB边上的高，
∴根据△ABC的面积可得高为 245，
设△BED1的BD1边上的高为h，可证△BC2D2∽△BED1，
∴ h245=5-x5；
∴ h=24(5-x)25，S△BED1= 12×BD1×h= 1225(5-x)2，
又∵∠C1+∠C2=90°，
∴∠FPC2=90°，
又∵∠C2=∠B，sinB= 45，cosB= 35，
∴ PC2=35x， PF=45x，S△FC2P= 12PC2×PF= 625x2，
∴y=S△BC2D2-S△BED1-S△FC2P= 12S△ABC- 1225(5-x)2- 625x2，
∴y= -1825x2+245x= -1825(x-103)2+8；
∴函数y的最小值是8．点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平移的性质和二次函数的最值等知识，本题涉及的知识点较多，考查了学生的综合运用能力

Answer 2

（2）由题意得AB=10，AD1=BD2=C1D1=C2D2=5，
又∵D2D1=x，
∴D1E=BD1=D2F=AD2=5-x，
∴C2F=C1E=x，
在△BC2D2中，C2到BD2的距离就是△ABC的AB边上的高，
∴根据△ABC的面积可得高为 24/5，
设△BED1的BD1边上的高为h，可证△BC2D2∽△BED1，
∴ h/24/5=5-x/5；
∴ h=24(5-x)/25，S△BED1= 12×BD1×h= 1225(5-x)2，
又∵∠C1+∠C2=90°，
∴∠FPC2=90°，
又∵∠C2=∠B，sinB= 4/5，cosB= 3/5，
∴ PC2=35x， PF=45x，S△FC2P= 12PC2×PF= 625x2，
∴y=S△BC2D2-S△BED1-S△FC2P= 12S△ABC- 1225(5-x)2- 625x2，
∴y= -1825x2+245x= -1825(x-103)2+8；
∴函数y的最小值是8．点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平移的性质和二次函数的最值等知识，本题涉及的知识点较多，考查了学生的综合运用能力

Answer 3

1121222221221212