Question

已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，作正方形DEFG

使点A，C分别在DG和DE上 连接AE,BG （1）试猜想线段BG和AE的数量关系
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（大于0°，小于360°）判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，证明；不成立说明理由
（3）若BC=DE=2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值

Answer 1

（1）BG=AE
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后,上述结论仍成立
证明如下：
设正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转a度E，F,G分别转到E',F'G'，DE'和AC交与，G'D和AB交于N. 则，∠CDM=∠ADN=a
因为△ABC是等腰直角三角形，所以∠DCM=45°,因点D是BC的中点，
所以AD⊥BC,,AD=DC=1/2BC,△ADB为等腰直角三角形，∠DAN=45°
所以△DMC≌△DNA， AN=MC, DM=DN,∠DMC=∠DNA
而AB=AC，DG'=DE'， ∠AME'=∠DMC，∠BNG'=∠DNA
所以AM=BN ,ME'=NG', ∠AME'=∠BNG',
所以△BNG'≌△AME', BG'=AE'
(3)当E点绕D点逆时针方向旋转270°时，AE取得最大值，在RT△AE'F'中，AE=AD+DE‘=1+2=3
EF=DE=2，AF根号（AE²+EF²）=根号（9+4）=根号13

Answer 2

（1） AE=BG，
在直角三角形△ABC中，AD为斜边BC上的中线，
由等腰三角形三线合一定理和直角三角形斜边上的中线定理可知：
AD垂直平分BC，且AD=BD=DC.
在正方形DEFG中，DE= DG,
所以直角三角形BDG全等于直角三角形ADE（SAS）
　　所以AE=BG。
（2）逆时针旋转任意角度（大于0°，小于360°）后，结果依然成立。
　　逆时针旋转后，依然有DE= DG，AD=BD，∠BDA＝∠GDE＝90°
　　而∠BDG＝∠BDA＋∠ADB，∠ADE＝∠GDE＋∠ADB
　　因此，∠BDG＝∠ADE
　　所以三角形BDG全等于三角形ADE
　　可知，AE=BG　
（3）要使AE最大，则AE与AD共线（三角形两边之和大于第三边）
　　即，AE＝AD＋DE＝3
　　而DE＝EF＝2，解直角三角形就可知，
　　AF＝根号13。

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谢谢你

Answer 3

我现在才见到这道题

Answer 4

有人给你回答了

追问

hehe也谢谢你