Question

点A,B,C,D均在圆O上，且AC垂直BD,OE垂直BC于点E，求证OE等于二分之一AD!

Answer 1

因为OA=OB=OC=OD,AC垂直BD，所以四边形ABCD是正方形，所以角OBE是45度，又因为OE垂直BC,所以角BOE等于45度，所以BE=EO,同理得出EO=EC,所以OE是BC的二分之一,所以OE等于二分之一AD

Answer 2

你好！
延长CO，交圆O于F，连接BF、DF
因为 CF是直径
所以 ∠CBF＝90
所以 ∠ABC＋∠ABF＝90
因为 AB垂直CD
所以 ∠DCB＋∠ABC＝90
所以 ∠ABF＝∠DCB
所以 BD弧＝AF弧
所以 AD弧＝BF弧
所以 AD＝BF
因为 OE垂直BC
所以 E是BC中点
因为 O是CF中点
所以 OE是△CFB中位线
所以 OE＝BF/2
所以 OE＝AD/2

Answer 3

证明：
延长BO交圆O于F，连接CF
则OB=OF=半径
又∵BE=CE【∵OE⊥BC，垂直于直径的弦必被直径所平分】
∴OE是⊿BCF的中位线
∴OE=½CF
∵BF是圆O的直径，AC⊥BD
∴∠BCF=∠AOB=90º
∵∠BAC=∠BFC【同弧BC】
∠ABD=90º-∠BAC
∠CBF=90º-∠BFC
∴∠ABD=∠CBF
∴AD=CF【同圆内相等圆周角所对的弦相等】
∴OE=½AD

Answer 4

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