Question

已知函数f(x)=x+4/x

1.求证：函数f(x)在区间(0,2)内是单调减函数在区间[2，+无穷）内是单调增函数
2.判断函数f(x)的奇偶性
3.写出函数f(x)的所有单调增区间
写详细过程

Answer 1

这位同学我不知道你们有没有讲对钩函数 这个就是
第一问可以利用均值不等式a b 大于0时 a+b大于等于2根号下ab a=b时取等
所以x+4/x大于等于2根号4=4 x=4/x 即x=2取等 所以在[2,+无穷]单增
第二问 f(-x)=-x-4/x=-(x+4/x)=-f(x) 所以是奇函数
第三问 如果学过对钩函数的话根据第一问可以写在(0,2)和(-2，0)单减 （-无穷，-2）和（2，+无穷）单增 严格证明的话
设x1 x2 不等于0 且x1>x2
f(x1)-f(x2)=x1+4/x1-x2-4/x2=(x1-x2)+4(x1-x2)/x1x2
=[(x1-x2)·（x1x2-4）]/x1x2
因为x1-x2>0
一 所以x1 x2 均大于2 或均小于-2时 x1x2>0 且x1x2>4
则f(x1)-f(x2)>0 此时函数单增
二 x1 x2 均属于（-2，0）或均属于（0，2）时
x1x2>0 且x1x2-4<0 所以f(x1)-f(x2)<0 此时函数单减

应该这样说就可以的 高考不考这种类型的题 做练习巩固基础不错 希望帮到你

Answer 2

（1）在区间（0，2）上，先假设0<a<b<2，然后x=a和x=b代人，求f(a)和f(b)的大小。另外一个区
间类似。
（2）f(-x)=-x-4/x=-(x+4/x)=-f(x)
所以是奇函数。
（3）这个证明忘了，不过答案应该不会错。（0，2）单调递减，（-2，0）单调递减，另外的两个区间（-无穷，-2）和（2，+无穷）都是单调递增。

Answer 3

函数f（x）在[2，正无穷)上的单调递增，最小值为f(2)=4;
2、f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x),所以原不等式可化为f（a²+2a+4）
=3，a²-a+3=（a-1/2)²+11/4>=11/4,得到
a²+2a+4
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