Question

已知F1，F2为双曲线上x^2/a^2-y^2/b^2=0(a>0,b>0)的两个焦点，p为双曲线右支上异于顶点的的任意一点，

o为标原点，下面四个命题
1、△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=a上；
2、△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=b上；
3、△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上；
4、△PF1F2的内切圆的圆心必通过（a，0）。
其中真命题的序号是 1，4
请帮我分析一下为什么，写详细些谢谢

Answer 1

设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则可知|PA|=|PB|，|F1A|=|F1M|，|F2B|=|F2M|，点P在双曲线右支上，所以|PF1|-|PF2|=2a=6，故|F1M|-|F2M|=6，而|F1M|+|F2M|=2 13，
设M点坐标为（x，0），
则由|PF1|-|PF2|=2a=6，可得（x+ 13）-（ 13-x）=6，解得x=3，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，
故答案为①④．