Question

怎么证明三角形的中位线定理

特别是平行的那条

Answer 1

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。求证DE平行且等于BC/2。
法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。
∵CF∥AD
∴∠A=∠ACF
∵AE=CE、∠AED=∠CEF
∴△ADE≌△CFE
∴AD=CF
∵D为AB中点
∴AD=BD
∴BD=CF
∴BCFD是平行四边形
∴DF∥BC且DF=BC
∴DE=BC/2
∴三角形的中位线定理成立.
法二：利用相似证
∵D，E分别是AB，AC两边中点
∴AD=AB/2 AE=AC/2
∴AD/AE=AB/AC
又∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC
∴DE/BC=AD/AB=1/2
∴∠ADE=∠ABC
∴DF∥BC且DE=BC/2
法三：坐标法：
设三角形三点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)
则一条边长为 :根号(x2-x1)^2+(y2-y1)^2
另两边中点为((x1+x3)/2，(y1+y3)/2)，和((x2+x3)/2，(y2+y3)/2)
这两中点距离为:根号((x2+x3)/2-(x1+x3)/2)^2+((y2+y3)/2-(y1+y3)/2)^2
最后化简时将x3，y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半