Question

已知函数f(x)=a*2^x+b*3^x,其中常数a,b满足a*b≠0.

①若a*b>0,判断f(x)单调性。
②若a*b<0,求f(x+1)>f(x)时x的取值

Answer 1

1)ab>0时，表明a,b同号，因为2^x, 3^x都在R上是增函数，所以
若a>0, 则f(x)在R上单调增
若a<0,则f(x)在R上单调减
2) 由f(x+1)>f(x), 得
2a*2^x+3b*3^x>a*2^x+b*3^x
a*2^x+2b* 3^x>0
b*1.5^x>-a/2
若b>0, 有： 1.5^x>-a/(2b), 得 x>log 1.5( -a/(2b))
若b<0, 有： 1.5^x<-a/(2b), 得 0<x<log1.5( -a/(2b))

追问

请问为什么f(x)= a*2^x+b*3^x，则f(x+1)=2a*2^x+3b*3^x？

追答

指数函数的性质呀：2^(x+1)=2*2^x, 3^(x+1)=3*3^x
f(x+1)=a*2^(x+1)+b*3^(x+1)=2a*2^x+3b*3^x

Answer 2

f'(x)=a*2^x*ln2+b*3^x*ln3,当a，b>0时，f'(x)>0定义域内递增，当a,b<0,递减
2.把式子代入，化简可得a*2^x+2b*3^x>0,在整理一下得，a(2/3)^x>-2b,分类讨论
当a>0时，(2/3)^x>-2b/a,x<log(2/3)(-2b/a),当a<0时，(2/3)^x<-2b/a,x>log(2/3)(-2b/a)