Question

f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=0,|f'(x)|<f(x),证明:f(x)=0

Answer 1

条件应该改成|f'(x)|≤f(x)
由条件知f'(x)≤f(x)
即f(x)-f'(x)≥0
注意到((e^(-x))f(x))'=(e^(-x))(f'(x)-f(x))≤0
即(e^(-x))f(x)在(0,1)上单调递减。
任取0<x1<x2<1有
f(x1)/e^x1≥f(x2)/e^x2
任意取定x2=x0代入上式得
当0<x<x0时，f(x)/e^x≥f(x0)/e^x0
在上式中令x趋于0，则有
lim(f(x)/e^x)=limf(x)/lime^x=f(0)/e^0=0≥lim(f(x0)/e^xo)=f(x0)/e^x0
即f(x0)≤0
又f(x0)≥|f'(x0)|≥0，得到f(x0)=0
注意到x0是任取的，这样当0<x<1时f(x)=0
另一方面f(0)=0，f(1)=limf(x)(x→1)=0
∴f(x)=0

Answer 2

楼上证明饶了一个大弯子。
本题可用用Lagrange中值定理来证
设x0属于[0,0.5] 且| f(x0)|是[0,0.5]上的最大值，则：
|f(x0)|=|f(x0)-f(0)|<=|f '(y)|*0.5<=|f (y)|*0.5<|f(y)|
其中y属于（0，x0）
而这与|f(0)|是最大值矛盾！故|f(x0)|=0
后面同理