Question

求教两道数分题

1.用N(k)表示不超过2^N的所有的自然数中以K为首位的数字的个数，
求证lim(N->+∞)N(7)/N(8)存在。
2.设数列{x(n)}满足，对于任意n,m属于N有0≤x(n+m)<x(n)+x(m)，
求证数列{x(n)/n}存在极限。
谢谢！

Answer 1

第一题的极限应该是不存在的。
（以下“数”指自然数）
当2^N的首位不为7也不为8时，显然有N(7)=N(8)，此时N(7)/N(8)=1。在N足够大时，N>N'，也会存在N，使得2^N的首位不为7也不为8。所以，如果lim(N->+∞)N(7)/N(8)存在，那么必然有lim(N->+∞)N(7)/N(8)=1。
当2^N的首位为7或8时，设2^N的位数为m，位数小于m的数中，以7为首位的数字的个数，与以8为首位的数字的个数相同，而不超过2^N，位数为m的自然数中，以7为首位的数字的个数，多于以8为首位的数字的个数（若2^N=899...999，个数也相同，但是这种情况并不存在），所以此时N(7)>N(8)。位数小于m的数中，以7（或8）为首位的数字的个数为(10^(m-1)-1)/9；位数为m的数中，以7（或8）为首位的数字的个数为10^(m-1)，比之前个数的9倍要多。若2^N=7999...999，则N(7)/N(8)>10。（这种情况也不可能出现，只作为假设）
当2^N的首位为7时，第二位若不为0，则N(7)/N(8)>2。这种情况在N足够大时，也会出现，所以im(N->+∞)N(7)/N(8)不存在。
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第二题，从单调有界的思路入手
0≤x(n)/n<n*x(1)/n=x(1)，x(n)/n有界
x(n)/n<(x(n-1)+x(1))/n<x(n-1)/n<x(n-1)/(n-1)
所以数列单调递减，又因为数列有界，所以极限存在

追问

x(n-1)+x(1))/n<x(n-1)/n
这一步不成立吧？
第一题是某个同学抄的，所以也不清楚是不是题目的问题。

追答

是我小看这道题了。大意。
在这里，先说明一个简单的引用。
任意自然数N可以表示为p(n)*q^n+p(n-1)*q^(n-1)+...+ p(2)*q^2+p(1)*q+ p(0)这样的形式。
其中q为任意自然数，0≤p(i)q，设z(n)= y(2^n)-q。则z(n)>0，且其极限为0，单调递减。
对于自然数N，可以表示为二进制形式。N=p(m)*2^m+p(m-1)*2^(m-1)+...+ p(2)*2^2+p(1)*2+ p(0)，其中p(i)为1或0。
那么对于足够大的自然数N，
x(N)=x(p(m)*2^m+p(m-1)*2^(m-1)+...+ p(2)*2^2+p(1)*2+ p(0))
+∞时，[p(m)*2^m*z(m)+...+p(1)*2*z(1)+ p(0)*z(0)]/N ->0（此处后面再证）
那么有，在N->+∞时，x(N)/N≤q。
对于给定的e>0，存在足够大的N，有y(m)-q 0，对于任意足够大的N_1>N，存在m>N_1，
有 | y(m)-q |>3e，
那么对于上式，绝对值中的式子y(m)-q e。
取n为满足的最小的自然数2^n>2m，则2^nk>m，x(2^n)[ 2^n* y (2^n) - m*(q-e)]/k > q+ 3e*m/k >q+e，
即y(k) >q+e，与 在N->+∞时，x(N)/N≤q矛盾。
得证。

然后证明：在N->+∞时，[p(m)*2^m*z(m)+...+p(1)*2*z(1)+ p(0)*z(0)]/N ->0，其中2^m0，且其极限为0，单调递减。N=p(m)*2^m+p(m-1)*2^(m-1)+...+ p(2)*2^2+p(1)*2+ p(0)，其中p(i)为1或0。
对于任意e>0，存在足够大的M，使得z(M)2^(2M)时，[p(m)*2^m*z(m)+...+p(1)*2*z(1)+ p(0)*z(0)]/N
+∞时，趋于0。
所以在N->+∞时，[p(m)*2^m*z(m)+...+p(1)*2*z(1)+ p(0)*z(0)]/N ->0。

Answer 2

证明单调有界即可