Question

已知f(x)=2^x-a/2^x+1为奇函数,1.求a,2.求证f(x)在R上为增函数,3.若f(x^2-2x)<1/3,求x的范围

Answer 1

1.
因为f(x)=2^x-a/2^x+1为奇函数,
所以
f(0)=(1-a)/(1+1)=0
1-a=0
a=1
2.
f(x)=(2^x-1)/(2^x+1)
=(2^x+1-2)/(2^x+1)
=1-2/(2^x+1)
因为
2^x是增函数,所以
2/(2^x+1)是减函数,从而
-2/(2^x+1)是增函数,即
f(x)=(2^x-1)/(2^x+1)是增函数.
3.
因为f(1)=(2-1)/(2+1)=1/3
所以
f(x^2-2x)<1/3=f(1)
函数是增函数,所以
x^2-2x<1
x^2-2x+1<2
(x-1)^2<2
1-√2<x<1+√2

Answer 2

是不是少括号啊。否则f(x)+f(-x)=(2^x+2^-x)(1-a)+2不能恒为0啊。