Question

若a,b,c为三角形的三边长,求证:(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2为负数

Answer 1

证明：
a^2+b^2-c^2)-4a^2*b^2
=(a^2+b^2+2ab-c^2)(a^2+b^2-2ab-c^2)
=[(a+b)^2-c^2]*[(a-b)^2-c^2]
=[(a+b+c)(a+b-c)]*[(a-b+c)(a-b-c)].
a+b+c>0,a+b-c>0,a-b+c>0,a-b-c<0,
即:[(a+b+c)(a+b-c)]*[(a-b+c)(a-b-c)]<0,
(a^2+b^2-c^2)-4a^2*b^2<0.
即(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2为负数

Answer 2

(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2
=(a²+b²-c²+2ab)(a²+b²-c²-2ab)
=[(a+b)²-c²][(a-b)²-c²]
=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)
因为，三角形的两边之和大于第三边。
所以，在上式中：只有a-b-c=a-(b+c)<0
其它的3个因式都>0
所以，上式<0
所以：(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2为负数

Answer 3

解：﹙a²＋b²－c²﹚²－4a²b²
＝﹙a²＋b²－c²－2ab﹚﹙a²＋b²－c²＋2ab﹚
＝[﹙a－b﹚²－c²][﹙a＋b﹚²－c²]
＝ ﹙a－b－c﹚﹙a－b＋c﹚﹙a＋b－c﹚﹙a＋b＋c﹚
∵ a、b、c是三角形的三条边长
∴ a－b－c＜0
a－b＋c＞0
a＋b－c＞0
a＋b＋c＞0
∴ ﹙a－b－c﹚﹙a－b＋c﹚﹙a＋b－c﹚﹙a＋b＋c﹚＜0
即： ﹙a²＋b²－c²﹚²－4a²b²＜0.

Answer 4

平方差公式多用两遍就好了
(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2
=(a^2+b^2-c^2+2ab)(a^2+b^2-c^2-2ab)
=((a+b)^2-c^2)((a-b)^2-c^2)
=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)
前三项大于零，最后一项小于零，所以为负数

Answer 5

a^2+b^2-c^2<=2ab cosC<=2ab
(a^2+b^2-c^2)^2<=4a^2b^2
故得证。