Question

已知奇函数f(x)在区间（a,b)上是减函数，证明f(x)z在区间（-b,-a)上仍是减函数

Answer 1

证明：任取m,n，使得-b＜n＜m＜-a
则a＜-m＜-n＜b
∵f(x)在(a,b)上单调递减
∴f(-m)＞f(-n)
又∵f(x)是奇函数
∴f(-x)=-f(x)
因而-f(m)＞-f(n)
即f(n)＞f(m)
∴f(x)在(-b,-a)上单调递减
证毕

Answer 2

证明： 任取x1,x2使得a<x1<x2<b,则-b<-x2<-x1<-a
由奇函数f(x)可知f(-x)=-f(x)
即f（-a）=-f（a）
f（-x1）=-f（x1）
f（-x2）=-f（x2）
f（-b）=-f（b）
由f（x）在（a，b）是减函数可知f（a）>f(x1)>f(x2)>f(b)
所以f(-a)<f(-x1)<f(-x2)<f(-b)
即f（x）在（-b，-a）上是减函数

Answer 3

奇函数在定义域内单调性相反