Question

已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．

（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．

Answer 1

解：（1）证明：①∵四边形耐尘ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，

∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA=OC，

∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴四边形AFCE为平行四边形，

又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形，

②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8-x）cm，

在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理得42+（8-x）2=x2，解得x=5，

∴AF=5cm．

（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；

同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形．

因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，昌凯禅

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，

∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，

∴PC=5t，QA=12-4t，

∴5t=12-4t，解得t=4/3，

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=4/3秒．

②由题意得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．分三种情况：

i）当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12-b，得a+b=12；

ii）当P点在BF上孙激、Q点在DE上时，AQ=CP，即12-b=a，得a+b=12；

iii）当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12-a=b，得a+b=12．

综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．

Answer 2

我们昨天刚考的，
（1）∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，
∵EF垂直平分AC，垂足为O
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF（AAS）
∴OE=OF
∴四边形AFCE为橘谨平行四边形，
又∵EF⊥AC
∴四边形AFCE为菱形，
设AF=CF=x，则BF=（8-x）
∵在Rt△ABF中，∠B=90°
∴由勾股定察庆理得
∴AB²+BF²败伍握=AF²
即AF=5

（2）①
只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=12-4t，
∴5t=12-4t，解得t=4/3，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=4/3秒．
②
由题意得，
以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．分三种情况：
1.当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12-b，得a+b=12；
2.当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12-b=a，得a+b=12；
3.当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12-a=b，得a+b=12．
∴综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．

Answer 3

1 ∵四边形ABCD为矩形 ∴AD//BC ∴∠CAD=∠ACF ∠AEF=∠EFC ∵EF垂直平分AC，∴OA=OC,∴△AOE≌△亩铅如COF ∴OE=OF ∴四边形AFCE为平行四边形，又∵EF⊥AC，∴平行四边形AFCE为菱形 设菱形边长AF=CF=Xcm则BF=(8-X)^2 在RT△ABF中 AB=4CM ∴4^2+（8-X）^2=X^2 ∴X=5 ∴AF=5CM
2
根据问题1）解答同时得：
BF=8-5=3
∵△ABF≌△CDE
∵点P、Q自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止。则可将此题视作两点在一个迅启三角形作不同方向、不等速运动，两点重合时，激野A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形
因此：设时间为t，12-5t=4t，t=4/3秒。ACPQ第一轮成平等四边形的时间是4/3秒

3
P点路程a，Q点路程b。
12-a/12的余数=b/12的余数，
∴a/12的余数0+b/12的余数=12
∴a与b的数量关系是：a+b=12·n（n为整数）

Answer 4

解：（1）证明：①∵孙激四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，

∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA=OC，

∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴四边形AFCE为平行四边形，

又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形，

②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8-x）cm，

在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理得42+（8-x）2=x2，解得x=5，

∴AF=5cm．

（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；

同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形．

因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，

∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，

∴PC=5t，QA=12-4t，

∴5t=12-4t，解得t=4/3，

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=4/3秒．

②由题意得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．分三种情况：

i）当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12-b，得a+b=12；

ii）当P点在BF上、Q点在DE上时，昌凯禅AQ=CP，即12-b=a，得a+b=12；

iii）当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12-a=b，得a+b=12．

综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）． （1）∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，
∵EF垂直平分AC，垂足为O
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF（AAS）
∴OE=OF
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵EF⊥AC
∴四边形AFCE为菱形，
设AF=CF=x，则BF=（8-x）
∵在Rt△ABF中，∠B=90°
∴由勾股定理得
∴AB²+BF²=AF²
即AF=5

（2）①
只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=12-4t，
∴5t=12-4t，解得t=4/3，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=4/3秒．
②
由题意得，
以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．分三种情况：
1.当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12-b，得a+b=12；
2.当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12-b=a，得a+b=12；
3.当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即耐尘12-a=b，得a+b=12．
∴综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．

Answer 5

°★．☆° ．★·°∴°★．°·∴°☆ ·°∴液乱° ☆．．·
☆°★°∴°°∴ ☆°．·★°∴°．
◢◣。 ◢◣。 ☆圣★
◢★◣。 ◢★◣。 ★诞☆
◢■■◣。 ◢■■闹氏档◣。 ☆节★
◢■■■◣。 ◢■■■◣。 ★快☆
︸核悄︸||︸︸ !!︸︸||︸︸ ☆乐★
祝圣诞节快乐 ^_^!!☆°★°∴°°∴ ☆°．·★°∴°．
°★．☆° ．★·°∴°★．°·∴°☆ ·°∴° ☆．．·．