Question

设函数f(x)在(a,+∞ )上可导,且lim(x->+∞ )(f(x)+f'(x))=0,证明:lim(x->+∞ )f(x)=0

Answer 1

证明：∵lim(f(x)+f'(x))=0
∴对任意正数ε>0，存在一个与之有关的正数M(x)，使得当x>M时
-ε<f(x)+f'(x)<ε
即-εe^x<e^x(f(x)+f'(x))<εe^x
即(-εe^x+e^M(f(M)+ε))'<(e^xf(x))'<(εe^x+e^M(f(M)-ε))'
注意到当x=M时上式中所涉及的三个函数都相等
∴当x>M时
-εe^x+e^M(f(M)+ε)<e^xf(x)<εe^x+e^M(f(M)-ε)
即-ε+e^(M-x)(f(M)+ε)<f(x)<ε+e^(M-x)(f(M)-ε)
取N=max{M,M+ln|(f(M)+ε)/ε|,M+ln|(f(M)-ε)/ε|}，则当x>N时
x>M+ln|(f(M)+ε)/ε|→e^(x-M)>|(f(M)+ε)/ε|→e^(M-x)<ε/|f(M)+ε|→e^(M-x)(f(M)+ε)>-ε
x>M+ln|(f(M)-ε)/ε|→e^(x-M)>|(f(M)-ε)/ε|→e^(M-x)<ε/|f(M)-ε|→e^(M-x)(f(M)-ε)<ε
于是-2ε<f(x)<2ε
故limf(x)=0