Question

已知函数f(x)=log2(2-ax)在(-无穷,1】上单调递减,求a的取值

已知函数f(x)=log2(2-a^x)在(-无穷,1】上单调递减,求a的取值

Answer 1

本题主要考查的是对数函数的定义域。
设f(x)=log2(2-ax)的定义域为A，
在(-∞,1]上单调递减，首先得满足f(x)在(-∞,1]上有定义
即(-∞,1]⊆A（这是本题的关键）
f(x)的定义域：2-ax>0
ax<2
当a>0时，解得定义域A为x<2/a，即x∈(-∞,2/a)
∵(-∞,1]⊆A，
∴2/a>1（注意：这里的不等号不能取等，因为定义域是开区间）
解得a∈(0,2),
并且根据复合函数的单调性可以判断出函数在定义域上恒为单调递减，因此成立

当a<0时，解得定义域A为x∈(2/a,+∞)，一定不能满足(-∞,1]⊆A
故舍

当a=0式，不等式恒成立，即定义域为R，但此时函数f(x)为常函数log2 2，没有单调递减区间。故舍

综上所述，a∈(0,2)

追问

已知函数f(x)=log2(2-a^x)在(-无穷,1】上单调递减,求a的取值