Question

数列极限保号性的推论问题。

简单一点，在数列{xn},有xn>0（或xn<0)，若limxn=a,则必有a≥0（或a≤0）。
为什么说只能推出a≥0（或a≤0），而不能由xn>0(或xn<0)推出其极限也大于0（或小于0）。 这个a 难道就不是它得到的极限？。。。

Answer 1

首先你要明白数列的极限并不属于数列，它只是描述了数列的发展趋势，或者可以理解为数列的渐近线，当xn>0时我们只能说它的每一项都大于0，并不能由此下结论说它那条渐进线（即a）一定大于0。当然，这些都源于limxna=0这个特例，因为它是正负号的分界线，如果按照你的说法，当0本身也是数列极限的时候，会得出结论0>0，这显然不对。这样的数列有比如1/n、2/n，-1/n等。
所以你的那条定理也可以这样论述：数列{xn},有xn>0（或xn<0)，若limxn=a,且a≠0时则必有a>0（或a<0）。
多想想，这样会让你对数列的极限有一个更清晰的认识。

Answer 2

举例说明吧，比如xn=1/n>0,极限a=limxn=0
再如xn=1-1/n>0,极限a=limxn=1>0
因此，作为定理或推论，为了结论的精准性和涵盖各种情况，故得出a≥0,意思是a可能大于0，也可能=0.