Question

已知圆O1与圆O2相交于A、B两点,点O1在圆O2上,C为O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与圆O1交于另一点D。

若C是圆O1内一点，求证O1C⊥AD.

Answer 1

∵A、B、O1、C共圆，∴∠AO1C＝∠ABD。［弧AC所对的圆周角］
∵∠AO1D、∠ABD分别是⊙O1中弧AD所对的圆心角、圆周角，∴∠AO1D＝2∠ABD。
由∠AO1C＝∠ABD、∠AO1D＝2∠ABD，得：∠AO1D＝2∠AO1C，
∴CO1是∠AO1D的平分线，而显然有：AO1＝DO1，［同圆的半径相等］
∴CO1是等腰三角形AO1D中的顶角平分线，　∴CO1是等腰三角形AO1D中底边上的高，
∴CO1⊥AD。

Answer 2

证明：作⊙O1直径AE、连结AB、BE，⊙O1中，∠C=∠O1AB，四边形ADBE内接于圆，∠ADC=∠E，∵AE是直径，∴∠ABE=Rt，即∠O1AB+∠E=Rt，∴∠C+∠ADC=Rt，即CO1⊥AD，证毕。
另：在直线O1C上⊙O1外、除点C外还有无数点，这些点连结B后AD不变，但这些点与O1连线是不会与AD互相垂直的，所以问题补充说“C是⊙O1外一点”但若不限定在⊙O2上的话，则不能证明。