Question

把1、2、3、4、5、6、7、8、9、九个数放在九宫格内，使每一横行、纵行、对角线的三个数字和相等。

Answer 1

九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央

2 9 7

7 5 3

6 1 8

不论纵横斜角，每三字相加都是15’，可以看出九宫中中间的数是最重要的数，纵横斜角相加中，该数用到的次数最多。因此我们从解决该数开始入手。

y z 15-y-z
x
15-z-x 15-x-y

如上表中设中间小格为x、左上角为y、上层中间为z，由于纵横斜角相加都是15，有右下角为15-x-y右上角为15-y-z中间下层为15-z-x。从最下行来看左下角就应为：15-(15-z-x)-(15-x-y)。

而从斜角来看左下角为：15-（15-y-z)-x

就有：15-(15-z-x)-(15-x-y)=15-(15-y-z)-x

解此方程得：x=5

由此可见不论是什么样的数字（不一定是1至9）的数，如果要排成九宫图，并要纵横斜角的和都为15的话，中间的数必定是5。

解决中间的数字后，根据上面的分析，我们接下来应该确定四个角的数了，因为四个角的数在纵横斜角相加中用到次数要多些。

由于1-9为自然数，我们可以简单地应用数字的奇偶性来进行逻辑推理来确定四个角数字的奇偶。

奇 奇偶 奇偶
偶 奇
偶奇 偶 奇

先假设左上角的数为奇数，由于中间的数为 5（奇数）和为15（奇数）→ 右下角为奇数。

再假设上层中间为奇数 → 右上角为奇数 → 左下角也为奇数。这样九宫中出现了6 个奇数，而1-9中只有五个奇数，显然是不可能的，所以当左上角为奇数时上层中间不能为奇数。

哪么上层中间为偶数呢？上层中间为偶数 → 右上角为偶数 → 左下角为偶数 → 左中间为偶数并且下中间为偶数。这样九宫中出现了五个偶数，这也是不可能的。

由于左上角为奇数时，上层中间为奇数和偶数都不成立，所以左上角为奇数是不成立的，所以左上角必定为偶数。

确定了中间的数为5，并且确定了角上的数为偶数，问题就迎刃而解了。任意将两个偶数加入四个角中的两个角中，其余的数字就跟着填写出来了。

Answer 2

8 1 6
3 5 7
4 6 2

Answer 3

297
753
618

Answer 4

二,四为肩,
六,八为足。
上九下一，
左七右三。
294
753
618