Question

不定积分与定积分问题

不定积分实际上是导函数的原函数集合，那么定积分跟不定积分有什么关系呢？为什么是求面积啊？这个面积是怎么回事?而且为什么定积分只与被积函数和积分区间有关而与积分变量无关？请高手给予详细解答。

Answer 1

定积分与不定积分在历史上原本是两个没有关系的问题，不定积分相当于导数的逆运算，而定积分原本就是研究面积、体积等问题发展起来的，只是后来牛顿和莱布尼兹发现了它们之间的联系，可以通过不定积分来计算定积分，所以它们才起了这么相近的名称。你在一开始学习定积分时，可以先不要去想不定积分的问题，忘记不定积分，就把定积分当作一个新东西来学就行了，等到学完N-L公式以后，再将它们联系起来。

定积分的结果是一个数字，这是它与不定积分的本质区别，正因为最后结果只是一个数，无论在做题中你用什么变量做积分变量，其实对于最后的那个数字都不会产生影响，因此定积分与积分变量无关。与下面的求和问题道理是一样的：
i 从1到10，对 i 的平方求和；
n从1到10，对n的平方求和；
这两个问题没有任何区别，因为结果都只是一个数，与求和变量无关，不论你用 i 还是用 n，其实研究的都是1平方+2平方+...+10平方。

追问

我今天刚学N-L公式，定积分和不定积分的联系就是因为要用原函数F(b)-F(a)，所以必须要求出一个原函数吗？ 另一个问题，我可不可以这样理解，因为函数下的面积只与上限有关，是所取的定义域的范围决定了面积的大小，所以可以不管积分变量，只关注上限。那如果是这样，为什么当积分变量是t的时候，X又看作常数可以随意出入积分号呢？ 请给予解答，我会加分的。

追答

定积分的最终结果就是一个曲边梯形的面积，因此我们可以想象当函数确定，上下限都克定的话，那块面积已经是客观存在的，是个常数，所以与积分变量无关。这里注意积分结果与上限和下限都 有关，不是你说的上限，你把下限漏了。

另一个问题：当你遇到这样的函数，F(x)=∫ [a,b] xf(t) dt 这里[a,b]是积分限，或F(x)=∫ [a,x] xf(t) dt 积分时，此时 t 是积分变量，而x不是积分变量，x 是F(x)的自变量，对于F(x)来说，x是变量，对于那个定积分来说，x是一个参数，可以理解为常数，因此x可以随意出入这个定积分。记住，当定积分中包括两个不同变量时，其中一个是积分变量，另外一个对于积分来说可以当作常数看待。积分变量可以随便换字母的，当然在刚才那两个问题中，t不可以换成x。

还有最后要提醒你一下，N-L公式只不过是高数中求定积分常用的方法，并不是求定积分的唯一方法，在有些情况下，我们不求原函数也是可以把定积分算出来的，也就是说，我们不一定非要求原函数，才能算出那块面积。因此在高数中，求原函数是求定积分的主要方法，但不是唯一方法。

追问

我的疑惑就在于此，按照你的说法当F（x）=[a,x] xf(t) dt时，明明控制结果的是x， 为什么自变量又反而是t，而且居然可以把x看作常数，这跟以前的函数思想不吻合啊，怎么会这样呢？那积分变量t岂不是在打酱油，成为走过场的一种形式了？

追答

你把积分变量 t 理解为打酱油的也没错，因为积分只要一做完，它也就不存在了，而定积分的结果是客观存在的，F(x)=∫ [a,x] xf(t) dt，当你考查函数F(x)时，x是自变量，t 就是打酱油的，与函数没关系，当我们考查这个积分时，t 是积分变量，它不是自变量，它只为这个积分服务。

我想下面这个问题你肯定能理解，与下面这个类似：
f(n)= i 从1到n对 i^2求和;
f(n)= k 从1到n对 k^2 求和;
这两个东西是不是没有任何区别？其实它们都表示：1^2+2^2+...+n^2，f(n)的值随着n的不同而不同，i 或者 k 在这里就是打酱油的，它们只在求和中起作用，求和一旦做完，它们也就不存在了，因此真正f(n)的变量是n，这里 i 与n的关系，就是前面t与x的关系。

如果：f(n)= i 从1到n对 n*i^2 求和，即 n1^2+n2^2+...+n*n^2，这个n是不是可以从求和中提出来呢？这就与在对 t 做定积分中，x 可以提出来的道理一样。

追问

其他的我看懂了。不过最后一条我还是没看懂，比如说自变量t在a到x之间变化，那x为什么就踢出去了呢？是不是我对定义理解不对啊，a和x就应该是t的变化区间吧？你的例子我倒是看懂了，不过没办法和x联系起来想。麻烦你辛苦再帮我解答一次。

追答

x提出去是指f(x)=∫ [a,x] xf(t) dt=x∫ [a,x] f(t) dt，这里的x是可以提出去的，因为在做积分的时候，x是看作一个常数的，而积分做完后的结果是一个与x有关的函数。你实在理解不了就记住一点，积分里面只有t才是变量，其它所有的变量全是可以提出去的，离开积分后，x才是变量。

与我举的例子是一样的，在求和里面，i 是变量，离开求和后，n才是变量。i 的变化范围是1到n之间，但求和时，n是可以提出求和外面的，因为在求和里面，n相当于常数，当求和做完后，n可以当作变量。

Answer 2

你不用太纠结这个问题，楼上的回答很好，就像是如果你把积分看成曲边梯形，它的Y方向只是两条竖直线，那当然只存在一个变量是X，但如果他不是曲边的梯形，它的左右侧也是曲线的话那它当然也是一个变量啦，你在哪个方向积哪个就是自变量，不在哪个方向积分它肯定就可以提出来当作常量用啦