Question

求极限的题

①设y=e^（1/x）当x＿＿＿时函数为无穷小量，当x＿＿＿时函数为无穷大量。
②已知x→0时，ln(1+ax)与sin2x等价，则a=＿＿＿
③当x→0时，x^2与sinx比较是
A.较高级的无穷小量
B.较低级的无穷小量
C.等价无穷小量
D.同阶无穷小量
④解x→1时lim(x^(1/(1－x)))
⑤解x→0时lim(1/x－1/(e^x－1))
我了个去，能不能选两个最佳啊？

Answer 1

.①设y=e^（1/x）当x＿趋于无穷＿＿时函数为无穷小量，当x＿趋于0＿＿时函数为无穷大量。
②已知x→0时，ln(1+ax)与sin2x等价
即limx→0ln(1+ax)/sin2x=1
应用罗比达法则，分子分母同时求导
limx→0ln(1+ax)/sin2x=limx→0[a/(1+ax)]/2*（cos2x)=a/2=1,所以a=2
③应用罗比达法则，分子分母同时求导
limx→0x^2/sinx=lim(x→0)2x/cosx=0
所以选A.较高级的无穷小量
4、x→1时lim(x^(1/(1－x)))=x→1时limexp(lnx/(1－x))=x→1时limexp(limlnx/(1－x))
应用罗比达法则，分子分母同时求导limlnx/(1－x))=lim（-1/x)=-1
所以x→1时lim(x^(1/(1－x)))=1/e
5、x→0时lim(1/x－1/(e^x－1))=x→0时lim(e^x－1-x)/x*(e^x－1)
应用罗比达法则，分子分母同时求导
x→0时lim(e^x－1-x)/x*(e^x－1)=x→0时lim(e^x－1)/[(e^x－1+xe^x)
再次应用罗比达法则
x→0时lim(e^x－1)/[(e^x－1-xe^x)=x→0时lime^x/(2*e^x+xe^x)=1/2