Question

在△ABC中,AD平分∠BAC,E是BC上一点,BE=CD,EF‖AD交AB于点F,交CA的延长线于点P，CH‖AB交AD的延长线于点H

1）求证：△APF是等腰三角形
（2）试在图中找出一对全等的三角形并给予证明
（3）试猜想AB与PC的大小有什么关系？并证明你的猜想。

Answer 1

1)因为AD平分∠BAC
∠BAD=∠CAD
又 EF‖AD
∠CAD=∠APF （同位角）
∠BAD=∠AFP （内错角）
所以∠APF=∠AFP
△APF是等腰三角形
（2）△BEF与△CDH全等
证明：CH‖AB
∠ABC=∠DCH（内错角）
EF‖AD
∠BEF=∠BDA（同位角）
而∠BDA=∠CDH（对顶角）
故∠BEF=∠DCH
又BE=CD
运用ASA可以判定△BEF与△CDH全等
（3） AB=PC
证明：△BEF与△CDH全等
BF=CH
∠BAD=∠CAD=∠CHD
△ACH为等腰三角形
AC=CH
由（1）中知：AP=AF
AB=AF+BF
PC=AP+AC
所以AB=PC

Answer 2

1.证明：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC
∵EF∥AD
∴∠PFA=∠BAD，∠FPA=∠CAD
∴∠PFA=∠FPA
∴△APF是等腰三角形
2.△BEF≌△CDH
证明：∵CH∥AB
∴∠B=∠DCH，∠BAD=∠CHD
∵EF∥AD
∴∠BFE=∠BAD=∠CHD
∵BE=CD
∴.△BEF≌△CDH
3.∵△BEF≌△CDH
∴BF=CH
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC
∵CH∥AB
∴∠CHD=∠BAD=∠CAD
∴AC=CH=BF
∵题1证明了∠PFA=∠FPA
∴AF=AP
∴AB=BF+AF=AP+AC=PC