Question

求1平方+2平方+3平方+n平方=1/6n(n+1)(2n+1)的推导过程

求1平方+2平方+3平方+n平方=1/6n(n+1)(2n+1)的推导过程，是怎么由1平方+2平方+3平方+n平方这条式算出的？求详细过程，大家帮帮我这迷途的羔羊吧…
订正一下，是“1平方+2平方+3平方＋…+n平方=1/6n(n+1)(2n+1)”

Answer 1

设S=1^2+2^2+....+n^2
(n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1
...
..
...

2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1
把上面n个式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2+....+n] +n
所以S= (1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)] = (1/6)n(n+1)(2n+1)

Answer 2

解答：
用数学归纳法证明：
⑴当n=1时，左边=1²=1，右边=﹙1／6﹚×1×2×3=1=左边，成立
⑵假设n=k时，成立，即：
1²＋2²＋……＋k²=﹙1／6﹚×k﹙k＋1﹚﹙2k＋1﹚，成立。
则1²＋2²＋……＋k²＋﹙k＋1﹚²
=﹙1／6﹚k﹙k＋1﹚﹙2k＋1﹚＋﹙k＋1﹚²
=﹙k＋1﹚[﹙1／6﹚k﹙2k＋1﹚＋﹙k＋1﹚]
=﹙1／6﹚﹙k＋1﹚[2k²＋k＋6﹙k＋1﹚]
=﹙1／6﹚﹙k＋1﹚﹙k＋2﹚[2﹙k＋1﹚＋1]，
即当n=k＋1时，等式成立，
∴1²＋2²＋……＋n²=﹙1／6﹚n﹙n＋1﹚﹙2n＋1﹚.