Question

如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA⊥底面,E、F分别是AB、PC的中点,PA=AD.求证：EF⊥面PCD

Answer 1

∵ABCD是矩形，　∴AD＝BC，又PA＝AD，　∴PA＝BC。
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB；　∵ABCD是矩形，　∴AB⊥BC。
∴PB^2＝PA^2＋AB^2＝BC^2＋AB^2＝AC^2，　∴PB＝AC。

由PA＝BC、PB＝AC、PC＝PC，得：△PBC≌△PCA，∴∠PCB＝∠CPA。
由PA＝BC、PF＝CF＝PC/2、∠PCB＝∠CPA，得：△PAF≌△CBF，∴AF＝BF。
由AE＝BE、AF＝BF，得：EF⊥AB，而由矩形ABCD，有：AB∥DC，EF⊥DC。

∵∠PAE＝∠CBE＝90°、PA＝BC、AE＝BE，∴△PAE≌△CBE，∴PE＝CE，又AF＝CF，
EF⊥PC。

由EF⊥PC、EF⊥DC、PC∩DC＝C，得：EF⊥平面PCD。