蝴蝶定理（Butterfly theorem），是古典欧式平面几何的最精彩的结果之一。
这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，由于其几何图形形象奇特，貌似蝴蝶，便以此命名。
定义
蝴蝶定理(Butterfly Theorem):设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。
去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为"坎迪定理"， 不为中点时满足:1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP ,这对2，3均成立。
定理历史
这个命题最早作为一个征解问题出现在公元1815年英国的一本杂志《男士日记》(Gentleman's Diary)39-40页(P39-40)上。有意思的是，直到1972年以前，人们的证明都并非初等，且十分繁琐。
这篇文章登出的当年，英国一个自学成才的中学数学教师W.G.霍纳(他发明了多项式方程近似根的霍纳法)给出了第一个证明，完全是相等的;另一个证明由理查德·泰勒(Richard Taylor)给出。
另外一种早期的证明由M.布兰德(Mile Brand)1827年的一书中给出。最为简洁的证法是射影几何的证法，由英国的J·开世在"A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid"给出，只有一句话，用的是线束的交比。
"蝴蝶定理"这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形象一只蝴蝶。
1981年，Crux杂志刊登了K.萨蒂亚纳拉亚纳(Kesirajn Satyanarayana)用解析几何的一种比较简单的方法，利用直线束，二次曲线束。
蝴蝶定理是古典欧式平面几何的最精彩的结果之一。这个定理的证法不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。
扩展资料:
验证推导
霍纳证法
过O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足为L、T，
连接ON，OM，OS，SL，ST，易明△ESD∽△CSF
作图法
从X向AM和DM作垂线，设垂足分别为X'和X''。类似地，从Y向BM和CM作垂线，设垂足分别为Y'和Y''。
定理推广
该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广：M，作为圆内弦是不必要的，可以移到圆外。
参考资料:百度百科-蝴蝶定理
如图，在梯形中，存在以下关系：
(1)相似图形，面积比等于对应边长比的平方S1：S2=a^2/b^2
（2）S1︰S2︰S3︰S4= a^2︰b^2︰ab︰ab ；
（3）S3=S4 ；
（4）S1×S2=S3×S4(由S1/S3=S4/S2推导出)
(5) AO：BO=(S1+S3)：(S2+S4)
