Question

已知抛物线y=ax^2+bx+c与直线y=kx+4相交于A(1,m),B(4,8)两点,与X轴交于原点O及点C

1、求直线与抛物线相应的函数解析式
2、在x轴上方的抛物线上是否存在点D,使得S三角形OCD=1\2S三角形OCB？如果存在，请求出满足条件的D，如果不存在，请说明理由
麻烦写详细一点 谢谢

Answer 1

(1)由题目可知，A、B两点都在抛物线和直线上，所以将这两个点代到解析式里头，有
k+4=m，a+b+c=m，4k+4=8， 16a+4b+c=8
又因为抛物线还交于远点，所以将（0,0）代入抛物线，得c=0
解得k=1,m=5, a=-1, b=6
所以抛物线 y=-x^2+6x 直线y=x+4
(2)抛物线 y=-(x-6)x，所以C（6,0），所以OC=6
设D（x0,y0)，(x0>0,y0>0)
S△OCB=6*8/2=24，
S△OCD=6*y0/2=1/2S△OCB=12，所以y0=4
因为D在抛物线上，所以将D（x0,4）代入抛物线，得-x0^2+6x0=4,得x0=3+√5 或 3-√5
所以存在D（3+√5，4）或D（3-√5，4），使得条件成立。