Question

大学数学分析题：证明函数f(x),当x=0时，f(x)=0;当0<x=<1时，f(x)=1/x-[1/x].在0<=x=<1上可积

求完整过程

Answer 1

对任意e>0,显然f(x)在[e/2,1]上仅有有限多个间断点，故f(x)在[e/2,1]上可积，则存在[e/2,1]上的一个划分T1，使得∑ω1Δxi<e/2,取[0,1]上的一个划分T={0,e/2}∪T1,则有：
∑ωΔxi=Σω1Δxi+ω[0,e/2]*e/2＜e
其中[0,e/2]的振幅ω[0,e/2]=1
于是，我们证明了，对任意e>0，都存在[0,1]上的划分T，使得∑ωΔxi＜e
所以f（x）在【0,1】上可积。
如果用Lebesgue定理的话，证明只是一句话的功夫：因为f(x)在[0,1]的间断点构成零测集，所以可积~
可以继续提问~