矩阵的秩问题
设A为n阶方阵，Z={Ax|x属于R^n}，证明(1).R(Z)小于等于n;(2).R(Z)=n<=>|A|不等于0....
设A为n阶方阵，Z={Ax|x属于R^n}，证明
(1). R(Z)小于等于n;
(2). R(Z)=n<=>|A|不等于0. 展开
(1). R(Z)小于等于n;
(2). R(Z)=n<=>|A|不等于0. 展开
2个回答
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(1) Z中向量都是n维向量, 因为n+1个n维向量线性相关, 所以 r(Z) <= n.
(2) (=>)
因为 r(Z) = n
所以 存在x1,...,xn, 使得 Ax1,...,Axn 线性无关
所以 (Ax1,...,Axn) 可逆
所以 A(x1,...,xn) 可逆
所以 A 可逆, 故 |A|≠0.
(<=)
因为 |A|≠0
所以, 对任一n维向量b, Ax=b 有唯一解
故b属于Z
所以 Z=R^n
故 r(Z)=n.
(2) (=>)
因为 r(Z) = n
所以 存在x1,...,xn, 使得 Ax1,...,Axn 线性无关
所以 (Ax1,...,Axn) 可逆
所以 A(x1,...,xn) 可逆
所以 A 可逆, 故 |A|≠0.
(<=)
因为 |A|≠0
所以, 对任一n维向量b, Ax=b 有唯一解
故b属于Z
所以 Z=R^n
故 r(Z)=n.
追问
n+1个n维向量线性相关，这个怎么证明？
追答
知识点: 向量组α1,α2,..,αs线性相关
齐次线性方程组 x1α1+x2α2+...+xsαs = 0 有非零解.
这是向量形式, 其矩阵形式为: (α1,α2,...,αs)x = 0, 即 Ax=0.
对n+1个n维向量
r(A) <=n < n+1
AX=0 有非零解.
所以n+1个n维向量线性相关.
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