Question

设椭圆C : x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为60

Answer 1

设直线y=根3（x-c)跟椭圆方程联立 得出（b^2/3+a^2)y^2+2根3cb^2y/3+b^2c^2-a^2b^2=0
设A（x1,y1) B(x2,y2) F(c,0) AF=2FB 得出-y1=2y2
代入上面那个方程 再用一下韦达定理 得出c^2=4/9a^2
离心率就是2/3

第二问是弦长公式 根下（1+1/k^2)3y2 再用韦达定理代入
又因为a^=b^2+c^2 c=2/3a 最后a=3
椭圆方程就是 x^2/9+y^2/5=1
可能最后数没算对 你可以自己再验算一遍

Answer 2

解：设A、B、F的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(c,0)，分别用AF、FB表示向量AF和向量FB，则AF=(c-x1,-y1), FB=(x2-c, y2)，因AF=2FB，所以c-x1=2x2-2c, -y1=2y2，L过F且倾角60°，所以其方程为x=y/√3+c，代入椭圆方程并整理(1/3*1/a^2+1/b^2)*y^2+2/√3*c/a^2y+c^2/a^2-1=0，由韦达定理知y1+y2=-y2=-2/√3*c/a^2/(1/3*1/a^2+1/b^2)，y1*y2=-2y2^2=(c^2/a^2-1)/(1/3*1/a^2+1/b^2)，则2y2=y1*y2/(y1+y2)=(1-c^2/a^2)/(2/√3*c/a^2)=-2(y1+y2)=4/√3*c/a^2/(1/3*1/a^2+1/b^2)，所以8c^2/(3a^4)=(1-c^2/a^2)(1/3/a^2+1/b^2)，即8e^2/(3a^2)=(1-e^2)/(3a^2)+1/a^2，解之得e=2/3(舍去负值)，故椭圆C的离心率为2/3。
(2) 由|AB|=15/4得|FB|=5/4，所以y2=5/4*(√3/2)=5√3/8，则x2=5/8+c，所以(5/8+c)^2/a^2+(75/64)/b^2=1，解之得a=3,(舍去负值)，则c=2, b=√5，则椭圆C的方程为x^2/9+y^2/5=1。

Answer 3

作椭圆的右准线l,交X轴于M，再从A、B分别作其垂线AA1、BB1，作BH⊥AA1，垂足H，交X轴于N， ∵|AF|=2|FB|， ∴|AF|=2|AB|/3， |BF|=|AB|/3，根据椭圆第二定义， |BF|/|BB1|=e, |BB1|=|BF|/e, |AF|/|AA1|=e, |AA1|=|AF|/e, |AH|=|AA|-|BB1|=（1/e)(|AF|-|BF|)=(1/e)[|AB|/3-|AB|/3）=（1/e)*|AB|/3, cos<BAH=|AH|/|AB|=[（1/e)*|AB|/3]/|AB|=1/(3e), ∵〈BAH=60°， ∴1/(3e)=cos60°=1/2， ∴离心率e=2/3. 2、|BF|=|AB|/3=(15/4)/3=5/4, |AF|=2|AB|/3=5/2, 右准线方程为：x=a/e=c/e^2=c/(4/9)=9c/4, |FM|=|OM|-|OF|=9c/4-c=5c/4, |AH|=|AB|*cos60°=(15/4)/2=15/8, |BB1|=|BF|/e=(5/4)/(2/3)=15/8, |AA1|=|AF|/2=(5/2)/(2/3)=15/4, |FN|=|FM|-|NM|=|FM|-|BB1|=5c/4-15/8, |FN|=|BF|*cos60°=（5/4）*1/2=5/8， 5c/4-15/8=5/8， ∴c=2, e=c/a=2/a=2/3, ∴a=3, b=√（a^2-c^2)=√5， ∴椭圆方程为：x^2/9+y^2/5=1.

Answer 4

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