Question

初中正方形几何证明题

在正方形ABCD中，E为AB边上任意一点（不与A,B重合），连接CE并延长交AD的延长线于F点，连接BF，连接DE并延长交BF于G，连接GA并延长交CD的延长线于H点，求证：HD=FD

Answer 1

延长FB，交HC延长线与Q。连接HF、DB。
因为AEB//HDCQ
所以HD：DQ=AE：EB
=FE：EC （这个等于是因为FA//BC，或者用三角形FAE相似BCE）
=FB：BQ（因为BE//CQ）
所以HF//BD
所以角FHQ=角BDC=45度
所以HD=FD

Answer 2

不知道你学过外界圆没有
如果学过外接圆，则有外接圆的性质可知四边形AEDC的外接圆的对角等于对顶角，即∠FAG=∠FCH
那么证明△ADH≌△CDF即可
因为AD=DC，∠FDH=∠FDC=90°。
所以FD=HD

追问

AEDC四点共园？你看错了吧

Answer 3

<HAD=<FAG
<FAG=<FEA
<FEA=<FCD
所以，<HAD=<FCD
又AD=CD
AD垂直于HD
所以，Rt三角形HDA与Rt三角形FDC全等
所以，HD=FD

追问

为什么<FAG=<FEA ，理由是什么

Answer 4

这道题很明显是要求Rt三角形HDA与Rt三角形FDC全等。条件AD=CD和<HDA=<FDC=90°很好找，难点是在找另外一个条件。我们必须要找到<HAD=<FCD。由BC∥FD，一定有<AFE=<BCF,假设<HAD=<FCD，那么AG一定垂直与FE，所以我们只要找到AG垂直与FE就可以解决问题了。要求AG垂直与FE，我们学过的对角线垂直的图形有菱形或者是各有两条邻边想等的四边形，不过我们这道题上的四边形AEFG又不在这两种情况里，而是一个四条边长度都不一样的四边形，所以我觉得应该从角度上来找突破口。太晚了，没时间找到AG垂直与FE，以上是我的一些想法。