Question

怎样才能把分数与百分数应用题讲解清楚？

Answer 1

分数、百分数的知识，在日常生活和生产建设中有着广泛的应用，也是小学数学的一个重要内容。如何改进并加强分数、百分数应用题教学，使它们能够恰当地反映实际应用，从而激发学生学习的兴趣，增强学习目的性和实践性，真正做到提高教学质量，重要的是认真贯彻教学大纲的要求。对此，根据《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》（以下简称“新大纲”）的有关精神，谈几点个人认识和学习体会。

新大纲规定分数四则应用题，包括工程问题；百分数的实际应用包括发芽率、合格率、利息等计算，最多不超过三步计算，而且只限于比较容易的。这就从内容上和难度上作了具体的限制，有利于保证基本的知识和解题能力的落实，防止任意拔高要求，人为地编造出许多不切实际的难题，加重学生的学习负担。

新大纲对于分数、百分数应用题的教学要求，大致提出了以下三个方面的要求。

一、会解答分数、百分数应用题

会解答分数、百分数应用题的要求，一般是指能够理解应用题的题意，掌握最基本的数量关系，正确判别计算的方法，会列式计算，并且善于检验解答的合理性与准确性。

由于分数、百分数应用题的数量关系，跟整数应用题相比，既有共性，又有它们的特殊性，要求学生既了解其共性，又能懂得它们的特殊性，使学生的认知水平有所提高。对此，略举数例如下。

1.分数加、减法应用题

分数加、减法应用题中的已知分数有两种情况：一种是表示具体的数量，另一种是表示两个量的比。譬如：
①食堂第一天烧煤吨，第二天烧煤吨，两天共烧煤多少吨？ 题中已知的分数，都表示具体的数量，跟整数里求和应用题的数量关系是一致的，要求学生知道这是求两个相同单位的量的和。
②食堂有一批煤，第一天烧去这批煤的，第二天烧去这批煤的，两天共烧去这批煤的几分之几？题中已知的分数，都是两个量的比，而不是具体的数量。数量关系虽然跟整数里求和应用题是一致的，这是共性；但是，学生要理解题中的、以及求出的和，都是对这批煤而言的，不是具体的量。
③地球表面积的是海洋，剩下的是陆地，陆地占地球表面积的几分之几？这一题的数量关系跟整数里求剩余数，用减法计算是一致的，这是共性，可是题中只给出一个已知条件是，另一个条件要学生自己想象整个地球表面积看作“1”，然后用1－＝，这就是与整数应用题不同的特殊性。

2.分数、百分数乘、除法应用题

分数乘、除法应用题，既含有整数乘、除法应用题的数量关系，又具有新的数量关系，要求学生能够辨析清楚。譬如：
①一辆汽车平均每分钟行千米，30分钟行多少千米？这种题的数量关系跟整数里求相同加数的和，或者说求的30倍是一致的。

②10个鸡蛋重千克，平均每个鸡蛋重多少千克？这种题的数量关系跟整数除法题是一致的。

分数乘、除法应用题，既含有整数乘、除法应用题的数量关系，又具有新的数量关系，通常分为三种情况，或者叫做分数的三种基本应用题：（1）求一个数是另一个数的几分之几的除法应用题。（2）求一个数的几分之几是多少的乘法应用题。（3）已知一个数的几分之几是多少，求这个数的除法应用题。（新大纲中没有这些名称，笔者为了便于分析，沿用了这些习惯名称）上面三种情况中的几分之几，如果是百分数，那末这三种情况就是百分数的三种基本应用题。这里，还得说明，新大纲只是要求教学分数四则应用题包括工程问题，以及百分数的实际应用问题，没有具体规定教学哪些内容的应用题。考虑到各种不同风格的教材，可能会有所取舍，因而还是按现行通用教材的内容，研究教学的要求，供选择参考。

（1）求一个数是另一个数的几（百）分之几的应用题。

在实际生活中，经常需要比较两个数量的倍数关系，当它们的倍数等于1或大于1的时候，通常称为“几倍”；当它们的倍数小于1的时候，通常称为“几分之几”。在小学里，学生学习整数应用题的时候，只知道一个数是另一个数几倍。如：白兔16只，黑兔4只，白兔只数是黑兔的16÷4＝4（倍）。那时，学生只知道两个数量相比较的一个侧面，到了学习分数以后，黑兔的只数也可以与白兔去比较，即黑兔的只数是白兔的4÷16＝。当他们学习了百分数以后，应当让他们知道：求一个数是另一个数的几倍或几分之几，就统一为一个数是另一个数的百分之几了。

这类问题的数量关系跟整数里求两个数的倍数是一致的，要求学生掌握谁与谁相比较。如，甲是乙的几分之几，是用甲与乙相比较，那么乙是标准的量，甲是比较的量。并且知道用标准的量作除数。

可是，百分数在实际应用上，还有一些特殊性。求一个数是另一个数的百分之几，也叫做两个数的百分比或百分率。例如，产品合格率，种子发芽率，工人出勤率，存款的利息率，向国家交税的纳税率等。要使学生知道所求的这些“率”，都是用百分数表示的，所以，在这些百分率的公式里，添上乘以100％，表示求得的结果必须用百分数表示。如，
小麦出粉率＝×100％

在百分数里，经常会遇到除不尽的情况，应该让学生知道，除了指定精确度的以外，一般除到小数第四位，即万分位，然后四舍五入取三位小数，化成百分数后，百分号前面的数保留一位小数。并且知道百分号前面通常写成小数形式，不用带分数的形式，如通常写成33.3％。

（2）求一个数的几分之几或百分之几是多少的乘法应用题。

新大纲在整数应用题里，增加了求一个数的几分之一或几分之几是多少的内容，那时是用整数乘、除法计算的。例如，有学生600人，其中十分之九（或）是少先队员，求少先队员有多少人。这就是把600人分成10等份，求出的是的人数，再乘以9，就是的人数，列式为：600÷10×9＝540（人）。学生有了这个基础，学习分数乘法应用题，思考方法一致，只是把整数乘除的方法转化为分数乘法。即

600÷10×9＝540（人）用分数表示
×9＝600×＝540（人）

这里，要求学生比较熟练地掌握求一个数的几（百）分之几是多少，用乘法计算的结论。

（3）已知一个数的几分之几或百分之几是多少，求这个数的除法应用题。

这是分数乘法的逆向题，也是学生容易与分数乘法相混淆的问题，新大纲规定在分数

四则计算的前面要学习简易方程，到这里用列方程解答，可避免乘、除法混淆。因此，要求学生运用求一个数的几分之几是多少，用乘法计算的思考方法去解题。例如，一根钢管的是48厘米，这根钢管长多少厘米？学生应思考：（钢管的长）×＝48（厘米），设钢管长x米，即x×＝48或者x＝48，x＝192。

有些题目，既可以用上述方法解答，也可以根据已知的数量关系进行思考。如，一个工程队小时开凿山洞米，求1小时开凿山洞多少米。用上述方法解答，设1小时开凿山洞x米，列方程为：x×＝或x＝，解得x＝。也可以根据：

工作总量÷工作时间＝单位时间的工作量
所以，列式为：÷＝（米）

以上是分数、百分数应用题中最基础的内容，应该让学生理解并掌握。

二、能够运用所学的知识解决生活中一些简单的实际问题

新大纲中这个要求是小学阶段最后一个学期的要求，在分数、百分数应用题里也应该贯彻这个精神。根据最多不超过三步计算的限制，再按照实际生活中常见的分数问题、百分数问题，大致要求学生掌握以下几方面的实际问题。

1.求一个数比另一个数增加或减少百分之几的问题。

这类问题在生活和生产上经常要用到，例如，实际产量比计划生产量增产百分之几，或者本月用电比上月节约百分之几等等。要求学生根据求一个数是另一个数的百分之几的思考方法，先要求出增产（或节约）的数量，然后把它与计划生产的数量（或原来用电度数）相比。列式为：

（实际产量－计划产量）÷计划产量

或也可以先求出实际产量相当于计划产量的百分之几，再求增产百之几，列式为：

实际产量÷计划产量－100％＝增产的百分之几

这类问题有一个重要的概念，必须让学生掌握。学生在整数里已知5比3多2，3比5就必定少2。但是在分数、百分数里5比3多 ＝66.7％，反过来3却并不比5少66.7％，而是少 ＝40％，因为它们相比较的标准数量不同，所以，两个百分数是不等的。

2．求一个数增加（减少）它的几（百）分之几是多少的应用题以及这类问题的逆向问题。

例如，原有少先队员400人，现在增加12％，现在有队员多少人？这是求400增加它的12％以后是多少。要求学生能够用两种方法解答：

400＋400×12％＝400＋48＝448（人）；

400×（1＋12％）＝448（人）。

这个应用题的逆向题是：现在有少先队员448，比原来增加了12％，原来有少先队员多少人？这是已知一个数增加了它的12％以后是448，要求这个数。应该使学生理解为原来的人数加上增加了它的12％的人数等于现在的人数。 设原来为x人， 那么

x＋12％x＝448， 1.12x＝448， x＝400。

3．工程问题。

这是有关工作总量、单位时间的工作量（通常叫做工作效率）和工作时间的问题。这三者之间的关系是：
工作时间＝工作总量÷单位时间的工作量

例如，“一项工程，由甲队修建需20天完成，由乙队修建需30天完成，两队合修需要多少天完成？”
要求学生知道把整个工程看作“1”，还要知道甲队每天可完成这项工程的，乙队每天可完成这项工程的，两队合修一天可以完成这项工程的（＋），这是两队合修的工作效率，然后用工作总量除以工作效率，列式为：

1÷（＋）＝12（天）

工程问题的变化很多，可以一个人独做，也可以是几个人合做的；可以是几个人同时开始做的，也可以是有先有后做的；工作的进程可以是向前的，也可以是倒退的（如水管注水与放水）等等。但是，必须根据新大纲最多不超过三步计算的限制，在这个限度内适当有些变化。

三、能够有条理地说明解题思路

有条理地说明解题思路是要求培养学生有条有理、有根有据地说清楚自己是怎么思考的，决不是背诵一个模式，或者是思路说不清楚，颠三倒四，要让学生能够用自己的话表达清楚。这是培养逻辑思维能力的一个重要方面。

例如，发电厂有煤2500吨，用去，还剩多少吨？学生独自解答，可能出现以下两种解法：

①2500－2500× ； ②2500×（1－）

这时，让学生说明解题思路，第一种解法必然要说先求用去多少吨，再求剩下多少吨。第二种解法必然要说先求剩下的占总吨数的几分之几，再求这个几分之几是多少吨。上述第一种解法接近学生原有的认知结构，因为在整数应用题已知从总吨数中减去用掉的，就是剩下的。第二种解法是从问题出发分析出来的，是一种新的思路，而这种思路在分数应用题中常常用到，教师不仅赞赏，还应该让更多的学生学会这种思考方法。

此外，与解题思路有关的是文字题的数量关系，现举例说明如下：

①甲数是，乙数比甲数大 ，求乙数。

这里的是甲、乙两数相差的数值，所以，列式为：

②甲数是，乙数比甲数大它的，求乙数。

这里的是指甲数的一半，所以，列式为：

或者

×(1+)=

③比吨多，是多少吨？

这里的带有单位名称是具体的量，没有单位名称，它表示两个数的比，所以，列式为：

×（1+）=（吨）

④比吨多吨是多少吨？

列式为：+=（吨）

⑤甲数是200，乙数比甲数大20％，求乙数。

因为百分数表示两个数的比，所以，列式为：

200×（1＋20％）＝240

Answer 2

分数、百分数的知识，在日常生活和生产建设中有着广泛的应用，也是小学数学的一个重要内容。如何改进并加强分数、百分数应用题教学，使它们能够恰当地反映实际应用，从而激发学生学习的兴趣，增强学习目的性和实践性，真正做到提高教学质量，重要的是认真贯彻教学大纲的要求。对此，根据《九年义务教育全日制小学数学教学大纲(试用)》(以下简称“新大纲”)的有关精神，谈几点个人认识和学习体会。

新大纲规定分数四则应用题，包括工程问题;百分数的实际应用包括发芽率、合格率、利息等计算，最多不超过三步计算，而且只限于比较容易的。这就从内容上和难度上作了具体的限制，有利于保证基本的知识和解题能力的落实，防止任意拔高要求，人为地编造出许多不切实际的难题，加重学生的学习负担。

新大纲对于分数、百分数应用题的教学要求，大致提出了以下三个方面的要求。

一、会解答分数、百分数应用题

会解答分数、百分数应用题的要求，一般是指能够理解应用题的题意，掌握最基本的数量关系，正确判别计算的方法，会列式计算，并且善于检验解答的合理性与准确性。

由于分数、百分数应用题的数量关系，跟整数应用题相比，既有共性，又有它们的特殊性，要求学生既了解其共性，又能懂得它们的特殊性，使学生的认知水平有所提高。对此，略举数例如下。

1.分数加、减法应用题

分数加、减法应用题中的已知分数有两种情况:一种是表示具体的数量，另一种是表示两个量的比。譬如:
①食堂第一天烧煤吨，第二天烧煤吨，两天共烧煤多少吨? 题中已知的分数，都表示具体的数量，跟整数里求和应用题的数量关系是一致的，要求学生知道这是求两个相同单位的量的和。
②食堂有一批煤，第一天烧去这批煤的，第二天烧去这批煤的，两天共烧去这批煤的几分之几?题中已知的分数，都是两个量的比，而不是具体的数量。数量关系虽然跟整数里求和应用题是一致的，这是共性;但是，学生要理解题中的、以及求出的和，都是对这批煤而言的，不是具体的量。
③地球表面积的是海洋，剩下的是陆地，陆地占地球表面积的几分之几?这一题的数量关系跟整数里求剩余数，用减法计算是一致的，这是共性，可是题中只给出一个已知条件是，另一个条件要学生自己想象整个地球表面积看作“1”，然后用1-=，这就是与整数应用题不同的特殊性。

2.分数、百分数乘、除法应用题

分数乘、除法应用题，既含有整数乘、除法应用题的数量关系，又具有新的数量关系，要求学生能够辨析清楚。譬如:
①一辆汽车平均每分钟行千米，30分钟行多少千米?这种题的数量关系跟整数里求相同加数的和，或者说求的30倍是一致的。

②10个鸡蛋重千克，平均每个鸡蛋重多少千克?这种题的数量关系跟整数除法题是一致的。

分数乘、除法应用题，既含有整数乘、除法应用题的数量关系，又具有新的数量关系，通常分为三种情况，或者叫做分数的三种基本应用题:(1)求一个数是另一个数的几分之几的除法应用题。(2)求一个数的几分之几是多少的乘法应用题。(3)已知一个数的几分之几是多少，求这个数的除法应用题。(新大纲中没有这些名称，笔者为了便于分析，沿用了这些习惯名称)上面三种情况中的几分之几，如果是百分数，那末这三种情况就是百分数的三种基本应用题。这里，还得说明，新大纲只是要求教学分数四则应用题包括工程问题，以及百分数的实际应用问题，没有具体规定教学哪些内容的应用题。考虑到各种不同风格的教材，可能会有所取舍，因而还是按现行通用教材的内容，研究教学的要求，供选择参考。

(1)求一个数是另一个数的几(百)分之几的应用题。

在实际生活中，经常需要比较两个数量的倍数关系，当它们的倍数等于1或大于1的时候，通常称为“几倍”;当它们的倍数小于1的时候，通常称为“几分之几”。在小学里，学生学习整数应用题的时候，只知道一个数是另一个数几倍。如:白兔16只，黑兔4只，白兔只数是黑兔的16÷4=4(倍)。那时，学生只知道两个数量相比较的一个侧面，到了学习分数以后，黑兔的只数也可以与白兔去比较，即黑兔的只数是白兔的4÷16=。当他们学习了百分数以后，应当让他们知道:求一个数是另一个数的几倍或几分之几，就统一为一个数是另一个数的百分之几了。

这类问题的数量关系跟整数里求两个数的倍数是一致的，要求学生掌握谁与谁相比较。如，甲是乙的几分之几，是用甲与乙相比较，那么乙是标准的量，甲是比较的量。并且知道用标准的量作除数。

可是，百分数在实际应用上，还有一些特殊性。求一个数是另一个数的百分之几，也叫做两个数的百分比或百分率。例如，产品合格率，种子发芽率，工人出勤率，存款的利息率，向国家交税的纳税率等。要使学生知道所求的这些“率”，都是用百分数表示的，所以，在这些百分率的公式里，添上乘以100%，表示求得的结果必须用百分数表示。如，
小麦出粉率=×100%

在百分数里，经常会遇到除不尽的情况，应该让学生知道，除了指定精确度的以外，一般除到小数第四位，即万分位，然后四舍五入取三位小数，化成百分数后，百分号前面的数保留一位小数。并且知道百分号前面通常写成小数形式，不用带分数的形式，如通常写成33.3%。

(2)求一个数的几分之几或百分之几是多少的乘法应用题。

新大纲在整数应用题里，增加了求一个数的几分之一或几分之几是多少的内容，那时是用整数乘、除法计算的。例如，有学生600人，其中十分之九(或)是少先队员，求少先队员有多少人。这就是把600人分成10等份，求出的是的人数，再乘以9，就是的人数，列式为:600÷10×9=540(人)。学生有了这个基础，学习分数乘法应用题，思考方法一致，只是把整数乘除的方法转化为分数乘法。即

600÷10×9=540(人)用分数表示
×9=600×=540(人)

这里，要求学生比较熟练地掌握求一个数的几(百)分之几是多少，用乘法计算的结论。

(3)已知一个数的几分之几或百分之几是多少，求这个数的除法应用题。

这是分数乘法的逆向题，也是学生容易与分数乘法相混淆的问题，新大纲规定在分数

四则计算的前面要学习简易方程，到这里用列方程解答，可避免乘、除法混淆。因此，要求学生运用求一个数的几分之几是多少，用乘法计算的思考方法去解题。例如，一根钢管的是48厘米，这根钢管长多少厘米?学生应思考:(钢管的长)×=48(厘米)，设钢管长x米，即x×=48或者x=48，x=192。

有些题目，既可以用上述方法解答，也可以根据已知的数量关系进行思考。如，一个工程队小时开凿山洞米，求1小时开凿山洞多少米。用上述方法解答，设1小时开凿山洞x米，列方程为:x×=或x=，解得x=。也可以根据:

工作总量÷工作时间=单位时间的工作量
所以，列式为:÷=(米)

以上是分数、百分数应用题中最基础的内容，应该让学生理解并掌握。

二、能够运用所学的知识解决生活中一些简单的实际问题

新大纲中这个要求是小学阶段最后一个学期的要求，在分数、百分数应用题里也应该贯彻这个精神。根据最多不超过三步计算的限制，再按照实际生活中常见的分数问题、百分数问题，大致要求学生掌握以下几方面的实际问题。

1.求一个数比另一个数增加或减少百分之几的问题。

这类问题在生活和生产上经常要用到，例如，实际产量比计划生产量增产百分之几，或者本月用电比上月节约百分之几等等。要求学生根据求一个数是另一个数的百分之几的思考方法，先要求出增产(或节约)的数量，然后把它与计划生产的数量(或原来用电度数)相比。列式为:

(实际产量-计划产量)÷计划产量

或也可以先求出实际产量相当于计划产量的百分之几，再求增产百之几，列式为:

实际产量÷计划产量-100%=增产的百分之几

这类问题有一个重要的概念，必须让学生掌握。学生在整数里已知5比3多2，3比5就必定少2。但是在分数、百分数里5比3多 =66.7%，反过来3却并不比5少66.7%，而是少 =40%，因为它们相比较的标准数量不同，所以，两个百分数是不等的。

2.求一个数增加(减少)它的几(百)分之几是多少的应用题以及这类问题的逆向问题。

例如，原有少先队员400人，现在增加12%，现在有队员多少人?这是求400增加它的12%以后是多少。要求学生能够用两种方法解答:

400+400×12%=400+48=448(人);

400×(1+12%)=448(人)。

这个应用题的逆向题是:现在有少先队员448，比原来增加了12%，原来有少先队员多少人?这是已知一个数增加了它的12%以后是448，要求这个数。应该使学生理解为原来的人数加上增加了它的12%的人数等于现在的人数。 设原来为x人， 那么

x+12%x=448， 1.12x=448， x=400。

3.工程问题。

这是有关工作总量、单位时间的工作量(通常叫做工作效率)和工作时间的问题。这三者之间的关系是:
工作时间=工作总量÷单位时间的工作量

例如，“一项工程，由甲队修建需20天完成，由乙队修建需30天完成，两队合修需要多少天完成?”
要求学生知道把整个工程看作“1”，还要知道甲队每天可完成这项工程的，乙队每天可完成这项工程的，两队合修一天可以完成这项工程的(+)，这是两队合修的工作效率，然后用工作总量除以工作效率，列式为:

1÷(+)=12(天)

工程问题的变化很多，可以一个人独做，也可以是几个人合做的;可以是几个人同时开始做的，也可以是有先有后做的;工作的进程可以是向前的，也可以是倒退的(如水管注水与放水)等等。但是，必须根据新大纲最多不超过三步计算的限制，在这个限度内适当有些变化。

三、能够有条理地说明解题思路

有条理地说明解题思路是要求培养学生有条有理、有根有据地说清楚自己是怎么思考的，决不是背诵一个模式，或者是思路说不清楚，颠三倒四，要让学生能够用自己的话表达清楚。这是培养逻辑思维能力的一个重要方面。

例如，发电厂有煤2500吨，用去，还剩多少吨?学生独自解答，可能出现以下两种解法:

①2500-2500× ; ②2500×(1-)

这时，让学生说明解题思路，第一种解法必然要说先求用去多少吨，再求剩下多少吨。第二种解法必然要说先求剩下的占总吨数的几分之几，再求这个几分之几是多少吨。上述第一种解法接近学生原有的认知结构，因为在整数应用题已知从总吨数中减去用掉的，就是剩下的。第二种解法是从问题出发分析出来的，是一种新的思路，而这种思路在分数应用题中常常用到，教师不仅赞赏，还应该让更多的学生学会这种思考方法。

此外，与解题思路有关的是文字题的数量关系，现举例说明如下:

①甲数是，乙数比甲数大 ，求乙数。

这里的是甲、乙两数相差的数值，所以，列式为:

②甲数是，乙数比甲数大它的，求乙数。

这里的是指甲数的一半，所以，列式为:

或者

×(1+)=

③比吨多，是多少吨?

这里的带有单位名称是具体的量，没有单位名称，它表示两个数的比，所以，列式为:

×(1+)=(吨)

④比吨多吨是多少吨?

列式为:+=(吨)

⑤甲数是200，乙数比甲数大20%，求乙数。

因为百分数表示两个数的比，所以，列式为:

200×(1+20%)=240

Answer 3

百分数有百分号；分数有单位百分数不能有单位

Answer 4

确定单位“1”这是重中之重

Answer 5

注意题中给的是神魔