Question

已知函数f(x)=lnx.当0<a<b时,求证:f(b)-f(a)>2a/(a＾2+b＾2)

Answer 1

因为a~2+b~2>=2ab,0<a<b,所以右边〈=2a(b-a)/(2ab)=1-a/b;现证明lnb-lna>1-a/b即可；即证：ln(b/a)+a/b>1;令b/a=x,则x>1;即证：lnx+1/x>1,其中x>1;将此时左边令为g(x),取导，g'(x)=1/x-1/(x~2)=(x-1)/(x~2),在x>1时，显然g'(x)>0,所以g(x)单调递增，所以g(x)>g(1)=1,即原题得证。