Question

请教一道初中数学题

请教：
在平面直角坐标系XOY中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点P．点E为直线l2上一点，反比例函数 （k＞0）的图象过点E与直线l1相交于点F．
问：是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求出E点坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：此题用反证法进行证明。
假设存在这样的点E及M,要是△MEF与△PEF全等，则会有结论：点E与点M关于直线EF轴对称。
直线l1表达式为：x=1
直线l2表达式为：y=2
反比例函数表达式为：y=k/x
E为l2与反比例函数交点，则可解得E点坐标为（k/2,2）,
F为l1与反比例函数交点，则可解得F点坐标为（1, k）
直线EF斜率k1=(k-2)/(1-k/2),而点E与点M关于直线EF轴对称，则直线MP垂直于直线EF,则有EF斜率与MP斜率相乘等于-1，可得MP斜率为k2=(k/2-1) / (k-2)。
根据点P是l1与l2的交点，可得P点坐标为（1,2）
从而可得MP表达式为：y=(k/2-1)/(k-2)x+3/2
由此可得M点坐标为（0,3/2）
两三角形全等，则有EM=EP,FM=FP
根据两点距离公式可有：（2-3/2）^2+(k/2-0)^2=(2-2)^2+(k/2-1)^2得k=1
及（k-3/2）^2+(1-0)^2=(k-2)^2+(1-1)^2得k=3/4
而用两种方法得到的k值不相等，说明没有公共解。
所以原假设不成立，即这样的点E与M不存在。

Answer 2

直线l1方程：x=1
直线l2方程：y=2
所以P点坐标（1，2）
设E点坐标（a，2），反比例函数为y=k/x
代入可得2=k/a，即k=2a
所以反比例函数为y=2a/x
联立l1:x=1
可得y=2a
即F坐标为（1，2a）
用E、F二点坐标可得出
EF直线方程：
y=-2x+2a+2
设过P点与EF垂直的直线方程：
y=x/2+b
点P代入可得2=1/2+b
即b=3/2
即直线方程为：y=(x/2)+(3/2)
与y轴交于点M：(0，3/2)
PM中点坐标为：x=(0+1)/2=1/2，y=(2+3/2)2=7/4
代入EF直线方程y=-2x+2a+2得：
7/4=-2×(1/2)+2a+2
即a=3/8
所以E点坐标为（3/8，2）
综上可得E点坐标为（3/8，2）时，有三角形MEF与△PEF全等

Answer 3

P点坐标（1，2）
设E点坐标（a，2），反比例函数为y=k/x
代入可得2=k/a，即k=2a
所以反比例函数为y=2a/x
联立l1:x=1
可得y=2a
即F坐标为（1，2a）
用E、F二点坐标可得出
EF直线方程：
y=-2x+2a+2
设过P点与EF垂直的直线方程：
y=x/2+b
点P代入可得2=1/2+b
即b=3/2
即直线方程为：y=(x/2)+(3/2)
与y轴交于点M：(0，3/2)
PM中点坐标为：x=(0+1)/2=1/2，y=(2+3/2)2=7/4
代入EF直线方程y=-2x+2a+2得：
7/4=-2×(1/2)+2a+2
即a=3/8
所以E点坐标为（3/8，2）
综上可得E点坐标为（3/8，2）时，有三角形MEF与△PEF全等

Answer 4

反比例函数的方程呢？
感觉应该是高中的题目