Question

为什么由α1,α2,α3不能由β1,β2,β3线性表示能得出β1,β2,β3线性相关？

不相关时，只有r(α1,α2,α3，β）=r(α）+1这么个性质。。
还有个α1,α2,α3，β线性无关<=>β不可用α1,α2,α3线性表示；如果按这个性质那么当
α1,α2,α3不能由β1,β2,β3线性表示时，那么α1,α2,α3，β1,β2,β3不就应该线性无关么，既然和在一起线性无关，那么它每个向量无非被表示，β1,β2,β3不久也应该线性无关么。。？
这个问题我特别晕，还麻烦您给予解答。谢谢~

Answer 1

知识点:
n个n维向量a1,...,an线性无关的充分必要条件是: 任一个n维向量b都可由a1,...,an线性表示.
(=>)必要性
因为a1,...,an线性无关
而 a1,...,an,b 线性相关 (个数大于维数)
所以b可由a1,...,an线性表示
(<=)充分性
由已知,a1,...,an与n维基本向量组ε1,...,εn等价
而等价的向量组秩相同
所以 r(a1,...,an)=r(ε1,...,εn)=n.
所以 a1,...,an 线性无关.

所给的向量都是3维向量, 有α1,α2,α3不能由β1,β2,β3线性表示
所以β1,β2,β3线性相关

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还有个α1,α2,α3，β线性无关<=>β不可用α1,α2,α3线性表示；
这样是有前提的
若α1,α2,α3线性无关, 则α1,α2,α3，β线性无关<=>β不可用α1,α2,α3线性表示
所以, 你后面的推导不成立

追问

翻遍了书没找到您说的这个知识点，不过我相信您是正确的，看您的回答，请问，n个n维向量a1,...,an线性相关的充分必要条件是: 任一个n维向量b都不可由a1,...,an线性表示.是不是真命题呢？

追答

当然不对, 逆否命题这样:
n个n维向量a1,...,an线性相关的充分必要条件是: 至少有一个n维向量b不能由a1,...,an线性表示

这个命题书中可能没有!