Question

关于x的解不等式：ax^2-2x+4>0在x属于[0,1]时恒成立，求a的取值范围。

Answer 1

ax^2-2x+4为二次曲线，a>0时开口向上，a<0时开口向下，对称轴为x=2/a
①当a>0时，开口向上，欲使ax^2-2x+4>0在x属于[0,1]时恒成立
则曲线与x轴没有交点或交点在区间[0,1]之外
没有交点时，△=4-4*4a=4(1-4a)<0，解得a>1/4
有交点时，由ax^2-2x+4=0解得交点为x1=(1-√(1-4a))/a，x2=(1+√(1-4a))/a
交点在区间[0,1]之外，则有 x1=(1-√(1-4a))/a>1或x2=(1+√(1-4a))/a<0
解不等式，得 a>0 ∴a>0时，不等式在x属于[0,1]时恒成立
②当a<0时，开口向下，欲使ax^2-2x+4>0在x属于[0,1]时恒成立
则曲线与x轴必有两个交点且交点在区间[0,1]之内
∴有 △=4-4*4a=4(1-4a)>0，且0<x2=(1+√(1-4a))/a<x1=(1-√(1-4a))/a<1，
解判别式得 a>0，而后面的不等式无解，∴a<0时，不等式在x属于[0,1]时不成立
③a=0时，不等式退化为-2x+4>0，解得 x<2，∴a=0时，不等式在x属于[0,1]时恒成立
综上所述，当a≥0时，不等式在x属于[0,1]时恒成立

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