Question

已知数列an的首项a1=3/5,an+1=3an/2an+1

证明；对任意的x＞0，an≥1/1+x-1/（1+x）²[（2/3^n）-x]，n=1，2，

Answer 1

要证明的结论有问题吧，应该是证明“对任意的x＞0，an≥1/(1+x)-1/(1+x)²*[2/(3^n+2)+x]，n=1，2，……”吧？
证明：a(n+1)=3a(n)/[2a(n)+1]①，特征方程为x=3x/(2x+1)，一根为0，一根为1。于是
a(n+1)-1=3a(n)/[2a(n)+1]-1=[a(n)-1]/[2a(n)+1]②
①÷②，得
a(n+1)/[a(n+1)-1]=3*a(n)/[a(n)-1]
令b(n)=a(n)/[a(n)-1]，则b(1)=(3/5)(/3/5-1)=-3/2，且b(n+1)=3b(n)，则b(n)为首项为-3/2，公比为3的等比数列。于是有b(n)=b(1)*3^(n-1)=-3/2*3^(n-1)=-(3^n)/2=a(n)/[a(n)-1]，解得
a(n)=3^n/(3^n+2)
则1/(1+x)-1/(1+x)²*[2/(3^n+2)+x]=1/(1+x)-x/(1+x)²-1/(1+x)²*[2/(3^n+2)]
=1/(1+x)²-1/(1+x)²*[2/(3^n+2)]
=1/(1+x)²*[1-2/(3^n+2)]
=1/(1+x)²*3^n/(3^n+2)
对任意的x＞0，恒有0＜1/(1+x)²＜1，故有
1/(1+x)-1/(1+x)²*[2/(3^n+2)+x]=1/(1+x)²*3^n/(3^n+2)≤a(n)，也即
a(n)≥1/(1+x)-1/(1+x)²*[2/(3^n+2)+x]成立。

追问

an你算得没错
an≥1/(1+x) - [1/(1+x)2] * [2/(3^n)-x]，n=1，2
“-”号没错

追答

n取1和2倒是可以成立的。那就很简单啦
n=1时有左边=3/5，
右边=1/(1+x) - [1/(1+x)^2] * [2/(3^1)-x]=1/(1+x)^2*(1+x-2/3+x)=2(x+1/6)/(x^2+2x+1)
=2(x+1/6)/[(x+1/6)^2+5/3*(x+1/6)+1-1/36-5/18)=2/[(x+1/6)+25/36/(x+1/6)+5/3]
≤2/[2√[(x+1/6)*25/36/(x+1/6)]+5/3]=3/5≤左边；
n=2时有左边=9/11，
右边=1/(1+x) - [1/(1+x)^2] * [2/(3^2)-x]=2(x+7/18)/(x^2+2x+1)
=2(x+7/18)/[(x+7/18)^2+11/9*(x+7/18)+121/324]
=2/[(x+7/18)+121/324/(x+7/18)+11/9]
≤2/[2√[(x+7/18)*121/324/(x+7/18)]+11/9]=9/11≤左边

追问

n=1，2、、、、有省略号的
你再看看吧，我再加悬赏分

追答

呵呵，要累死人啦！
右边=1/(1+x) - [1/(1+x)^2] * [2/(3^n)-x]=1/(1+x)^2]*(1+x+x-2/3^n)=[2x+(3^n-2)/3^n]/(1+x)^2
=2[x+1/2*(3^n-2)/3^n]/{[x+1/2*(3^n-2)/3^n]^2+(3^n+2)/3^n*[x+1/2*(3^n-2)/3^n]+1-1/4*[(3^n-2)/3^n]^2
-(3^n+2)/3^n*1/2*(3^n-2)/3^n}
=2[x+1/2*(3^n-2)/3^n]/{[x+1/2*(3^n-2)/3^n]^2+(3^n+2)/3^n*[x+1/2*(3^n-2)/3^n]+[4*(3^n)^2-(3^n-2)^2-2*(3^n)^2+8]/[4*(3^n)^2]}
=2[x+1/2*(3^n-2)/3^n]/{[x+1/2*(3^n-2)/3^n]^2+(3^n+2)/3^n*[x+1/2*(3^n-2)/3^n]+
[(3^n+2)/(2*3^n)]^2}
=2/{[x+1/2*(3^n-2)/3^n]+[(3^n+2)/(2*3^n)]^2/[x+1/2*(3^n-2)/3^n]+(3^n+2)/3^n}
≤2/[2*(3^n+2)/(2*3^n)+(3^n+2)/3^n]=3^n/(3^n+2)=a(n)
大功告成！

追问

好乱，能用word公式编辑器打出来用图片截图形式看下吗

追答

我不知道咋传图片啊。好的我试试吧，悬赏分要提上去哦

Answer 2

2008陕西高考最后一题（百度文库里有）

Answer 3

简称排量,是发动机各缸工作容积的总和,单缸排量Vh和缸数I的乘积.而汽缸工作容积则是指活塞从上止点到下止点所扫过的气体容积，又称为单缸排量，它取决于缸径和活塞行程。排量是较为重要的结构参数,它能全面衡量发动机的大小.发动机的性能指标和排量密切相关,一般来说,汽车的排量越大,功率也就越高.通常用单位排量作为评价不同发动机大小的依据.