Question

急急急！！！求解一道初中数学题！！！！

已知二次函数y=(x+m)²+k-m²的图像与x轴相交与两个不同的点A(X1,0) B(X2,0)与y轴交点C，设三角形ABC的外接圆的圆心为点P。
（1)求圆P与y轴另一个交点D的坐标
（2）如果AB恰好为圆P的直径，且三角形ABC的面积等于根号5，求m和k的值。

Answer 1

已知二次函数y=(x+m)^2+k-m^2的图象与x轴相交于两个不同的点A(x1,0)、B(x2,0),与y轴的交点为C。设△ABC的外接圆的圆心为点P。
（1）求⊙P与y轴的另一个交点D的坐标；
二次函数y=(x+m)^2+k-m^2的对称轴为x=-m
且，y=x^2+2mx+m^2+k-m^2=x^2+2mx+k
所以，它与y轴的交点C(0,k)
点A(x1,0)、B(x2,0)在x轴上，且它们关于对称轴x=-m对称
因为，△ABC外接圆的圆心P为各边垂直平分线的交点
所以，点P必定在AB的垂直平分线x=-m上
所以，不妨设圆心P(-m,a)
根据圆上各点到圆心的距离相等，则：PA=PB=PC
所以，PA^2=PC^2
即：
(x1+m)^2+a^2=m^2+(k-a)^2
因为点x1是二次函数与x轴交点A的横坐标
则，y=(x1+m)^2+k-m^2=0
所以，(x1+m)^2=m^2-k
===> (m^2-k)+a^2=m^2+k^2-2ka+a^2
===> m^2-k+a^2=m^2+k^2-2ka+a^2
===> -k=k^2-2ka
===> 2ka=k^2+k
===> a=(k+1)/2【显然，k≠0.因为k=0时，点C就在x轴上，那么点A、B、C就在同一直线上，那么它们无法有同一个外接圆】
所以，圆心P(-m,(k+1)/2)
因为点D是圆P与y轴的交点，所以不妨设点D(0,b)
那么，根据PA^2=PD^2=r^2得到：
(x1+m)^2+[(k+1)/2]^2=m^2+[b-(k+1)/2]^2
===> m^2-k+[(k+1)/2]^2=m^2+b^2-b(k+1)+[(k+1)/2]^2
===> -k=b^2-b(k+1)
===> b^2-b(k+1)+k=0
===> (b-k)(b-1)=0
所以，b1=k【这就是C点的纵坐标】、b2=1
所以，点D的坐标为D(0,1)

（2）如果AB恰好为⊙P的直径，且△ABC的面积等于√5,求m和k的值
由(1)知，圆心P(-m,(k+1)/2)
若AB为圆P的直径，则说明圆心P在AB上，也就是在x轴上
所以，圆心P的纵坐标(k+1)/2=0
所以，k=-1
当k=-1时，二次函数为y=x^2+2mx-1，点C(0,-1)
S△ABC=(1/2)*|AB|*|Cy|【Cy表示C点的纵坐标】
=(1/2)*(x2-x1)*1=√5
所以，x2-x1=2√5
===> (x2-x1)^2=20
===> x1^2+x2^2-2x1x2=20
===> (x1+x2)^2-4x1x2=20……………………………………（1）
因为x1、x2是二次函数y=x^2+2mx-1与x轴的交点横坐标，也就是说x1、x2是方程x^2+2mx-1=0的两个实数根
所以：x1+x2=-2m，x1x2=-1
代入(1)式，就有：(-2m)^2+4=20
===> 4m^2=16
===> m^2=4
===> m=±2

Answer 2

1.根据题意函数y=(x+m)^2+k-m^2的图像与X轴相交于两个不同的点A(m+√(m^2-k)，0）、B（-m+√(m^2-k),0）:
亦可以求出C点坐标为（0，k）
因为△ABC的外接圆的圆心为点P，在AB上，那么AB一定是直径：
所以可以知道C和D关于X轴对称，那么D点坐标为(0,-k)

2.由△ABC的面积等于根号5：
S=0.5*AB*OC
其中AB=2m OC=k （这里都是长度）

那么mk=√5 。。。。1式

又可以列出圆的方程为：

(x-√m^2-k)^2+y^2=m^2 。。。。。2式

联立两个式子即带入C点可以求出所得的结果。

追问

为什么p在ab上

追答

看图

Answer 3

这上面的 公式没法列，就和说一下大概思路; 这是一个向上开口的抛物线，与Y轴交点C为（0，k） ，与X轴的交点,假设y = 0 (x+m)²+k-m² =0 算出来 A B 坐标 。 最根据 圆心到三点的距离相等 算出圆心坐标，再让圆的方程与函数的方程联立就出来了 另一交点 2。 若AB 为直径 则ap bp 为直角边 公式 0.5 （ap x bp） = s m k 就出来了。

Answer 4

设点P为(0,y)
y²+m²=(k-m²-y)²
m²=(k-m²)²-2y(k-m²)
y=[(k-m²)-m²]/(k-m²)
设点D为(0,y1)
k-m²-y=y-y1
y1=2y+m²-k=2[(k-m²)-m²]/(k-m²)+m²-k
所以 点D为(0, 2[(k-m²)-m²]/(k-m²)+m²-k)
2 (k-m²)*2m/2=根号下5 且2OD=AB即2(k-m²)=2m
(k-m²)m=根号下5 k-m²=m
m*m=根号下5
m= 根号下(根号下5)
k-m²=m k=根号下5+根号下(根号下5)

追问

p点怎么会可以那么设呢?理由呢

追答

sorry 想错了 我重新做一遍
两根之差=2根号下(k-m²)
设点P为(-m,y)
m²+(k-m²-y)²=k-m²+y²
m²+(k-m²)²-2y(k-m²)=k-m²
y=[(k-m²)²+2m²-k]/2(k-m²)
所以点P为(-m,[(k-m²)²+2m²-k]/2(k-m²)
设点D为(0,y1) (y1+k-m²)/2=[(k-m²)²+2m²-k]/2(k-m²)
y1=(2m²-k)/(k-m²) 所以点D为(0,(2m²-k)/(k-m²))
2 2根号下(k-m²)*(k-m²)=根号下5 且 k-m²=m²+(k-m²)²
立方根下(5/4)=m²+[立方根下(5/4)]²
m²=立方根下(5/4)-[立方根下(5/4)]²
k-m²=立方根下(5/4)
k=2立方根下(5/4)-[立方根下(5/4)]²

Answer 5

（1）（0，-k）

追问

能不能写下过程呢？