Question

一个方程式个数大于未知数个数的齐次线性方程组是否一定有非零解？这是我们线性代数书上的一道题目，答...

一个方程式个数大于未知数个数的齐次线性方程组是否一定有非零解？这是我们线性代数书上的一道题目，答案是“不一定”，没有解答过程，老师讲了但是我没听懂，所以来请教各位。我只知道，当齐次线性方程组的系数矩阵的秩或者方程式的个数小于未知数的个数时它必有非零解，至于何时一定没有非零解就不清楚了。

Answer 1

方程的个数并不能决定系数矩阵的秩，如你把只有一个方程的方程组复制若干次,方程的个数增加,但对未知量并没有实质上的新的约束，所以此时方程组是否有非零解是不确定的，还是要看系数矩阵的秩，当 r(A)<n时有非零解。

方程（equation），是指含有未知数的等式。

是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”。求方程的解的过程称为“解方程”。

通过方程求解可以免去逆向思考的不易，直接正向列出含有欲求解的量的等式即可。方程具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等等，还可组成方程组求解多个未知数。

在数学中，一个方程是一个包含一个或多个变量的等式的语句。 求解等式包括确定变量的哪些值使得等式成立。 变量也称为未知数，并且满足相等性的未知数的值称为等式的解。

Answer 2

方程的个数并不能决定系数矩阵的秩
如你把只有一个方程的方程组复制若干次,方程的个数增加,但对未知量并没有实质上的新的约束
所以此时方程组是否有非零解是不确定的
还是要看系数矩阵的秩
当 r(A)<n时有非零解

Answer 3

当然不一定了。

方程的个数大于未知数的个数，有可能有矛盾方程，也有可能有多余的方程（同解方程），只有对其增广矩阵进行阶梯化，才能知道是否有解，及有解时是否有非零解。

Answer 4

方程个数 小于 未知数个数时，齐次线性方程组一定有非零解
方程个数 大于等于 未知数个数时，齐次线性方程组不一定有非零解，要看系数矩阵的秩是否小于未知数个数。“小于”时，有非零解，否则只有零解

Answer 5

1.1